Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 42)

Uma equação diofantina é uma equação onde as soluções que procuramos devem ser números inteiros (positivos, negativos ou zero). Neste problema, como se trata de quantidade de pesos, as soluções devem ser inteiros não-negativos.

Para resolver, primeiro vamos converter 4kg para gramas: 4kg = 4000g.
Seja $x$ o número de pesos de 200g e $y$ o número de pesos de 350g.
A equação que representa o problema é:
$200x + 350y = 4000$

Para simplificar, podemos dividir toda a equação pelo Máximo Divisor Comum (MDC) de 200, 350 e 4000, que é 50.
Dividindo por 50:
$4x + 7y = 80$

Agora, precisamos encontrar os valores inteiros e não-negativos de $x$ e $y$ que satisfazem essa equação, e que minimizam a soma $x+y$.
Podemos isolar $x$:
$4x = 80 - 7y$
$x = \frac{80 - 7y}{4}$

Como $x$ deve ser um número inteiro, $(80 - 7y)$ deve ser divisível por 4.
Além disso, $x \ge 0$, então $80 - 7y \ge 0 \implies 7y \le 80 \implies y \le \frac{80}{7} \approx 11.4$.
Como $y$ também deve ser um número inteiro não-negativo, os possíveis valores para $y$ são 0, 1, 2, ..., 11.
Observando $80 - 7y$ deve ser divisível por 4:

• 80 é divisível por 4.
• Para $80 - 7yundefined7y$ também deve ser divisível por 4.
• Como 7 e 4 são primos entre si, isso significa que $y$ deve ser divisível por 4.

Então, os possíveis valores para $y$ (que são inteiros, não-negativos e menores ou iguais a 11.4, e divisíveis por 4) são:

1. Se $y = 0$: $x = \frac{80 - 7(0)}{4} = \frac{80}{4} = 20$.
   Número total de pesos = $x+y = 20+0 = 20$.
2. Se $y = 4$: $x = \frac{80 - 7(4)}{4} = \frac{80 - 28}{4} = \frac{52}{4} = 13$.
   Número total de pesos = $x+y = 13+4 = 17$.
3. Se $y = 8$: $x = \frac{80 - 7(8)}{4} = \frac{80 - 56}{4} = \frac{24}{4} = 6$.
   Número total de pesos = $x+y = 6+8 = 14$.

Se tentarmos $y=12$, já seria maior que 11.4, então não é uma solução válida.
Comparando os totais de pesos encontrados (20, 17, 14), o número mínimo é 14.

• (A) Incorreta: 12 não é uma quantidade possível de pesos que somem 4kg. Por exemplo, se tentarmos usar muitos pesos de 350g para reduzir o total, $y=10$ (não divisível por 4, mas se alguém errasse essa parte) daria $x = (80-70)/4 = 10/4 = 2.5$, que não é inteiro.
• (B) Correta: O número mínimo de pesos é 14, obtido com 6 pesos de 200g e 8 pesos de 350g. $6 \times 200g + 8 \times 350g = 1200g + 2800g = 4000g = 4kg$. O total de pesos é $6+8=14$.
• (C) Incorreta: 16 não é uma quantidade mínima de pesos. A solução $(13, 4)$ resulta em 17 pesos, por exemplo.
• (D) Incorreta: 18 não é uma quantidade mínima de pesos. A solução $(13, 4)$ resulta em 17 pesos, por exemplo.
• (E) Incorreta: 20 é uma quantidade possível de pesos (20 pesos de 200g e 0 pesos de 350g), mas não é o mínimo. A armadilha aqui é considerar apenas uma das opções de peso (neste caso, apenas os de 200g) ou não verificar todas as combinações possíveis para encontrar o menor número total de pesos.