Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 41)

O conceito-chave aqui é o de congruência modular, que descreve o resto de uma divisão. Quando um número $N$ dividido por $d$ deixa resto $r$, escrevemos $N \equiv r \pmod{d}$. Para encontrar um número que satisfaz múltiplas condições de resto, procuramos um número que se encaixe em todos os padrões simultaneamente.

• (A) Incorreta: A soma dos algarismos de N não é 6. Este valor não corresponde ao cálculo correto de N.
• (B) Correta: O número $N$ deve satisfazer $N \equiv 12 \pmod{13}$ e $N \equiv 10 \pmod{11}$. Percebemos que $12 = 13 - 1 e \10 = 11 - 1$, o que significa que$N \equiv -1 \pmod{13}$e$N \equiv -1 \pmod{11}$. Isso implica que$N+1$é divisível por 13 e por 11. Como 13 e 11 são **números primos**,$N+1$deve ser divisível pelo **Mínimo Múltiplo Comum (MMC)** de 13 e 11, que é$13 \times 11 = 143$. Assim,$N+1 = 143k$para algum inteiro$k$. Para o menor$N$positivo, tomamos$k=1$, então$N+1 = 143$, o que nos dá$N = 142$. A soma dos algarismos de$N=142 é \1+4+2=7$.
• (C) Incorreta: A soma 8 seria obtida se N fosse 143. O número 143 é o menor número divisível por 13 e 11 (MMC de 13 e 11), mas não é o número que deixa os restos 12 e 10, pois 143 dividido por 13 deixa resto 0 e dividido por 11 também deixa resto 0. Esta é uma armadilha comum para quem confunde "ser divisível por" com "deixar um resto específico diferente de zero".
• (D) Incorreta: A soma dos algarismos de N não é 9. Este valor não corresponde ao cálculo correto de N.
• (E) Incorreta: A soma dos algarismos de N não é 10. Este valor não corresponde ao cálculo correto de N.