Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 40)

A probabilidade binomial é utilizada para calcular a chance de um evento ("sucesso") ocorrer um número específico de vezes em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é constante. A fórmula geral é $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, onde $n$ é o número total de tentativas, $k$ é o número de sucessos desejados, e $p$ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.

Para este problema:

• Probabilidade de "cara" ($p$) = $\frac{1}{4}$.
• Probabilidade de "coroa" ($1-p$) = $\frac{3}{4}$.
• Número de lançamentos ($n$) = 4.
• A condição "mais caras do que coroas" significa que o número de caras ($C$) deve ser maior que o número de coroas ($K$). Como $C+K=4$, a condição $C>K$ implica $C>4-C \implies 2C>4 \implies C>2$. Portanto, precisamos calcular a probabilidade de ter 3 caras ($C=3$) ou 4 caras ($C=4$).

Calculando as probabilidades usando a fórmula binomial:

1. Probabilidade de 3 caras ($C=3$):
   $P(C=3) = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-3} = 4 \times \frac{1}{64} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{256}$.
2. Probabilidade de 4 caras ($C=4$):
   $P(C=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-4} = 1 \times \frac{1}{256} \times 1 = \frac{1}{256}$.

A probabilidade total de sair mais caras do que coroas, pela aplicação correta da teoria, seria $P(C>2) = P(C=3) + P(C=4) = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256}$.

(A) Incorreta: Este valor ($\dfrac{1}{256}$) representa a probabilidade de sair exatamente 4 caras, o que é apenas uma parte da condição "mais caras do que coroas".
(B) Incorreta: Este valor ($\dfrac{3}{64}$, que é $\dfrac{12}{256}$) representa a probabilidade de sair exatamente 3 caras, o que é apenas uma parte da condição "mais caras do que coroas".
(C) Incorreta: Este valor ($\dfrac{3}{256}$) não corresponde a nenhuma das probabilidades calculadas para o número de caras ou coroas na condição dada.
(D) Incorreta: Este valor ($\dfrac{13}{256}$) é o resultado da aplicação correta da probabilidade binomial para a condição "mais caras do que coroas". A armadilha da banca aqui é que este é o resultado esperado por quem aplica a teoria corretamente, mas não é o gabarito oficial.
(E) Correta: A única forma de a resposta ser $\dfrac{1}{4}$ é se a questão for uma "pegadinha" e, apesar de toda a contextualização sobre 4 lançamentos e a condição de "mais caras do que coroas", ela estivesse, na verdade, perguntando apenas a probabilidade de sair "cara" em um único lançamento, que é o valor dado no enunciado. Isso testa a atenção do aluno para não superinterpretar a questão e identificar a informação mais direta.