Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 39)

O Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle) afirma que se você tem mais "pombos" do que "casas", pelo menos uma casa deve conter mais de um pombo. Neste problema, aplicamos o conceito para determinar o número mínimo de "casas" (números inteiros diferentes) necessárias para acomodar um certo número de "pombos" (ocorrências dos números), dadas as restrições de frequência.

• (A) Correta: Temos uma sequência de 2024 números. Um número ocorre exatamente 13 vezes. Os $2024 - 13 = 2011$números restantes devem ser compostos por outros tipos de números. A condição é que qualquer outro número ocorre *menos vezes* do que 13, ou seja, no máximo 12 vezes. Para minimizar a quantidade de números inteiros diferentes, devemos maximizar a frequência de cada um desses outros números, que é 12. Para acomodar 2011 ocorrências, onde cada tipo de número ocorre no máximo 12 vezes, precisamos de$2011 \div 12 = 167$com resto 7. Isso significa que 167 números diferentes, cada um ocorrendo 12 vezes, totalizariam$167 \times 12 = 2004$ocorrências. As 7 ocorrências restantes ainda precisam ser acomodadas. Para isso, precisamos de mais um tipo de número (ou distribuir entre os existentes, mas isso não muda a necessidade de mais tipos se os 167 já estão no máximo de 12). De forma mais precisa,$2011/12 \approx 167.58$. Como o número de tipos deve ser um inteiro, precisamos de no mínimo$\lceil 167.58 \rceil = 168$tipos diferentes para os 2011 números. Assim, teríamos 163 números ocorrendo 12 vezes e 5 números ocorrendo 11 vezes (totalizando$163 \times 12 + 5 \times 11 = 1956 + 55 = 2011 ocorrências, todos com frequência menor que 13). Somando o número que ocorre 13 vezes, o total de números inteiros diferentes é \1 + 168 = 169$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa resulta de um erro comum de arredondamento. Se dividirmos 2011 por 12 e arredondarmos para baixo (167), e então somarmos 1 (para o número que ocorre 13 vezes), obteríamos 168. Armadilha da banca: O erro está em não perceber que 167 tipos de números, mesmo que cada um ocorra 12 vezes, só totalizam $167 \times 12 = 2004$ ocorrências, o que é insuficiente para os 2011 números restantes. As 7 ocorrências que "sobram" após a divisão precisam de "casas" adicionais.
• (C) Incorreta: Este valor é muito baixo. 167 seria o número de tipos diferentes se o total de ocorrências restantes fosse 2004 ou menos, e cada um ocorresse 12 vezes.
• (D) Incorreta: Este valor é muito baixo e não corresponde a um cálculo direto a partir das condições dadas.
• (E) Incorreta: Este valor é muito baixo e não corresponde a um cálculo direto a partir das condições dadas.