Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 36)

A média é a soma de todos os números dividida pela quantidade de números. A mediana é o valor central de um conjunto de números quando eles estão organizados em ordem crescente ou decrescente. A moda é o número que aparece com maior frequência no conjunto.

Primeiro, vamos somar os números conhecidos da amostra: 3 + 3 + 6 + 3 + 5 + 11 = 31.
A amostra tem 7 números. A média é (31 + x) / 7.
Como a média é um número inteiro e x é um inteiro positivo, (31 + x) deve ser um múltiplo de 7.
Vamos testar os menores valores de x que satisfazem essa condição:

• Se 31 + x = 35 (o menor múltiplo de 7 maior que 31), então x = 4. (Média = 5)
• Se 31 + x = 42, então x = 11. (Média = 6)
• Se 31 + x = 49, então x = 18. (Média = 7)
  E assim por diante.

Nosso objetivo é encontrar o menor valor possível de S = Moda + Mediana + Média. Vamos analisar cada caso, começando pelo menor valor de x:

Caso 1: x = 4

1. Amostra: 3, 3, 6, 3, 4, 5, 11
2. Ordenando: 3, 3, 3, 4, 5, 6, 11
3. Média: (31 + 4) / 7 = 35 / 7 = 5 (é um número inteiro, válido).
4. Moda: O número 3 aparece 3 vezes, que é a maior frequência. Moda = 3.
5. Mediana: O valor central (o 4º número em 7) é 4. Mediana = 4.
6. S = Moda + Mediana + Média = 3 + 4 + 5 = 12.

Caso 2: x = 11

1. Amostra: 3, 3, 6, 3, 11, 5, 11
2. Ordenando: 3, 3, 3, 5, 6, 11, 11
3. Média: (31 + 11) / 7 = 42 / 7 = 6 (é um número inteiro, válido).
4. Moda: O número 3 aparece 3 vezes. O número 11 aparece 2 vezes. Moda = 3.
5. Mediana: O valor central (o 4º número em 7) é 5. Mediana = 5.
6. S = Moda + Mediana + Média = 3 + 5 + 6 = 14.

Caso 3: x = 18

1. Amostra: 3, 3, 6, 3, 18, 5, 11
2. Ordenando: 3, 3, 3, 5, 6, 11, 18
3. Média: (31 + 18) / 7 = 49 / 7 = 7 (é um número inteiro, válido).
4. Moda: O número 3 aparece 3 vezes. Moda = 3.
5. Mediana: O valor central (o 4º número em 7) é 5. Mediana = 5.
6. S = Moda + Mediana + Média = 3 + 5 + 7 = 15.

Comparando os valores de S: 12, 14, 15. O menor valor possível de S é 12.

(A) Incorreta: Este valor não é obtido por nenhuma combinação válida de x que satisfaça as condições.
(B) Correta: O menor valor possível de S é 12, que ocorre quando x=4, resultando em Média=5, Moda=3 e Mediana=4.
(C) Incorreta: Este valor não é obtido por nenhuma combinação válida de x que satisfaça as condições.
(D) Incorreta: Este valor (14) é obtido se considerarmos x=11. A armadilha da banca aqui é que 14 é uma resposta possível, mas não é o menor valor possível de S, pois x=4 leva a um S menor. O aluno deve sempre buscar o menor valor de x que satisfaça as condições para minimizar S.
(E) Incorreta: Este valor (15) é obtido se considerarmos x=18, mas não é o menor valor possível de S.