Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 34)

A união de dois conjuntos ($A \cup B$) é um novo conjunto que contém todos os elementos que pertencem a $A$, a $B$, ou a ambos. A interseção ($A \cap B$) é o conjunto dos elementos que são comuns a $A$ e $B$.

Primeiro, identificamos os elementos conhecidos dos conjuntos $A = \{1, 3, 5, x, 8\}$ e $B = \{2, 3, y, 7, 8\}$.
Os elementos comuns que já aparecem em ambos os conjuntos são $3 e \8$. Sabemos que a interseção$A \cap B$tem 4 elementos ($|A \cap B| = 4). Como já temos 2 elementos comuns (\3, 8$), precisamos de mais 2 elementos comuns. Esses dois elementos adicionais devem ser$x$e$y$. Para que$A \cap B$tenha 4 elementos,$x$deve ser um elemento de$B (e diferente de \3, 8$) e$y$deve ser um elemento de$A (e diferente de \3, 8$). Analisando os elementos restantes: Em$A$:${1, 5, x}$Em$B$:${2, y, 7}$Para que haja mais dois elementos em comum,$x$deve ser um dos elementos${2, 7}$e$y$deve ser um dos elementos${1, 5}$. Por exemplo, se$x=2$e$y=1$:$A = {1, 3, 5, 2, 8}$$B = {2, 3, 1, 7, 8}$Nesse caso,$A \cap B = {1, 2, 3, 8}$, que tem 4 elementos, satisfazendo a condição. A união$A \cup B$seria${1, 2, 3, 5, 7, 8}$. Note que, independentemente de quais valores específicos$x$e$y$assumam (por exemplo,$x=7$e$y=5$, ou$x=2$e$y=5$, etc.), desde que satisfaçam a condição de 4 elementos na interseção, o conjunto$A \cup B$sempre será${1, 2, 3, 5, 7, 8}. A soma dos elementos da união é \1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 8 = 26$.

(A) Correta: A soma dos elementos da união $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ é $1+2+3+5+7+8 = 26. **(B) Incorreta:** Esta alternativa está incorreta, pois a soma dos elementos da união é 26. **(C) Incorreta:** Esta alternativa está incorreta, pois a soma dos elementos da união é 26. **(D) Incorreta:** Esta alternativa está incorreta, pois a soma dos elementos da união é 26. **(E) Incorreta:** Esta alternativa está incorreta. A armadilha aqui seria somar todos os elementos de A e B sem remover os repetidos da interseção, ou seja, \1+3+5+x+8+2+3+y+7+8 = 29+x+y$. Se $x=2$ e $y=1$, essa soma seria $29+2+1=32$, o que não é 30. Outra armadilha seria calcular$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5+5-4=6$e depois somar os elementos de A e B *sem identificar*$x$e$y$corretamente, ou somar os elementos de A e B e subtrair os da interseção, mas sem garantir que os elementos$x$e$y$ foram corretamente identificados como parte da interseção.