Questão de Estatística · FGV CGE-SC 2022 (nº 39)

Um estimador não viesado é uma fórmula ou regra de cálculo que, em média, acerta o valor real do parâmetro populacional que queremos estimar. Ou seja, se repetirmos o processo de amostragem e cálculo muitas vezes, a média dos nossos estimadores será igual ao verdadeiro valor do parâmetro.

A amostra dada é $\{2,2,4,4\}$, com $n=4$ observações.

1. Estimativa não viesada para a média ($\mu$):
   O estimador não viesado para a média populacional $\mu$ é a média amostral $\bar{x}$.
   $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2+2+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

2. Estimativa não viesada para a variância ($\sigma^2$):
   O estimador não viesado para a variância populacional $\sigma^2$ é a variância amostral corrigida, denotada por $s^2$. A fórmula é $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.
   Primeiro, calculamos os desvios em relação à média $\bar{x}=3$:
   $(2-3)^2 = (-1)^2 = 1$
   $(2-3)^2 = (-1)^2 = 1$
   $(4-3)^2 = (1)^2 = 1$
   $(4-3)^2 = (1)^2 = 1$
   A soma dos quadrados dos desvios é $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 1+1+1+1 = 4$.
   Agora, calculamos $s^2$:
   $s^2 = \frac{4}{n-1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$.

Portanto, as estimativas não viesadas para $\mu$ e $\sigma^2$ são 3 e 4/3, respectivamente.

(A) Incorreta: A estimativa para a média está correta (3), mas a estimativa para a variância (0) está incorreta, pois uma variância zero indicaria que todos os valores da amostra são idênticos.
(B) Correta: As estimativas de 3 para a média e 4/3 para a variância são os valores obtidos usando os estimadores não viesados $\bar{x}$ e $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$, respectivamente.
(C) Incorreta: A estimativa para a média está correta (3), mas a estimativa para a variância (1) está incorreta. Esta seria a variância amostral viesada, calculada usando $n$ no denominador ($s_{enviesado}^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{4}{4} = 1$). A armadilha da banca é testar se o aluno sabe a diferença entre o estimador viesado e o não viesado para a variância.
(D) Incorreta: A estimativa para a média (4) está incorreta.
(E) Incorreta: A estimativa para a média (4) está incorreta.