Questão de Matemática · FCC TRT9 2022 (nº 17)

Um quadrado mágico é um quadriculado de números onde a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada uma das duas diagonais principais é sempre a mesma. Essa soma constante é chamada de número mágico.

Para resolver este problema, precisamos identificar os números dados e o número mágico, e então usar as propriedades de um quadrado mágico para encontrar o valor desconhecido.

1. Número Mágico (S): O problema informa que o número mágico é 1,5.

2. Números Fixos na Imagem:

   • Canto superior esquerdo (posição $A_{11}$): 0,8
   • Centro (posição $A_{22}$): 0,5
   • Canto inferior direito (posição $A_{33}$): 0,6
   • O quadrado cinza é a posição $A_{12}$ (canto superior central).

   Atenção à Armadilha: Se somarmos os números da diagonal principal dados na imagem ($A_{11} + A_{22} + A_{33}$), teríamos $0,8 + 0,5 + 0,6 = 1,9$. No entanto, o problema afirma que o número mágico é 1,5. Isso cria uma contradição. Para que o problema tenha uma solução única e chegue ao gabarito oficial, é necessário assumir que o número 0,6 na imagem está na posição errada ou que a imagem é enganosa. A única forma de o problema ser consistentemente resolvido para o gabarito 0,3 é se o número 0,6 estivesse na posição$A_{31}$(canto inferior esquerdo), e não em$A_{33}$ (canto inferior direito). Iremos proceder com esta interpretação para chegar à resposta correta.

   Assumindo a correção da imagem para a solução:

   • $A_{11} = 0,8$
   • $A_{22} = 0,5$
   • $A_{31} = 0,6$ (assumindo que o 0,6 da imagem deveria estar aqui para a consistência do problema e gabarito)
   • O número mágico $S = 1,5$.

3. Cálculo dos valores:

   • Soma da primeira coluna: $A_{11} + A_{21} + A_{31} = S$
     $0,8 + A_{21} + 0,6 = 1,5$
     $1,4 + A_{21} = 1,5$
     $A_{21} = 1,5 - 1,4 = 0,1$

   • Soma da diagonal secundária (anti-diagonal): $A_{13} + A_{22} + A_{31} = S$
     $A_{13} + 0,5 + 0,6 = 1,5$
     $A_{13} + 1,1 = 1,5$
     $A_{13} = 1,5 - 1,1 = 0,4$

   • Soma da primeira linha: $A_{11} + A_{12} + A_{13} = S$
     $0,8 + A_{12} + 0,4 = 1,5$
     $1,2 + A_{12} = 1,5$
     $A_{12} = 1,5 - 1,2 = 0,3$

   Portanto, o valor que deve ser colocado no quadradinho cinza ($A_{12}$) é 0,3.

(A) Incorreta: O valor 0,4 seria o $A_{13}$ (canto superior direito) ou o $A_{21}$ (canto inferior esquerdo) se o $A_{31}$ fosse 0,7.
(B) Correta: O valor 0,3 é obtido ao assumir que o número 0,6 da imagem está na posição $A_{31}$ (canto inferior esquerdo) e usar as propriedades de soma do quadrado mágico. Primeiro, calcula-se $A_{21}$ pela soma da primeira coluna ($0,8 + A_{21} + 0,6 = 1,5 \implies A_{21} = 0,1$). Em seguida, calcula-se $A_{13}$ pela soma da diagonal secundária ($A_{13} + 0,5 + 0,6 = 1,5 \implies A_{13} = 0,4$). Finalmente, calcula-se $A_{12}$ (o quadrado cinza) pela soma da primeira linha ($0,8 + A_{12} + 0,4 = 1,5 \implies A_{12} = 0,3$).
(C) Incorreta: O valor 0,9 seria o $A_{23}$ (meio da direita) no quadrado mágico completo.
(D) Incorreta: O valor 0,2 seria o $A_{33}$ (canto inferior direito) se a diagonal principal fosse consistente com o número mágico (0,8 + 0,5 + 0,2 = 1,5), mas isso contradiz o 0,6 da imagem.
(E) Incorreta: O valor 0,7 seria o $A_{32}$ (meio da parte inferior) no quadrado mágico completo.