Questão de Matemática e raciocínio lógico · FCC TRT6 2025 (nº 13)

O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma ferramenta matemática para calcular o tamanho de uma união de conjuntos, garantindo que cada elemento seja contado exatamente uma vez. Ele funciona somando os tamanhos dos conjuntos individuais, subtraindo as interseções de pares, adicionando as interseções de trios, e assim por diante, para corrigir as contagens duplas ou excessivas.

Resolução:
Primeiro, vamos listar os dados fornecidos:

• P(Samba) = P(S) = 40%
• P(Rock) = P(R) = 75%
• P(Música Clássica) = P(C) = 53%
• P(Samba e Rock) = P(S $\cap$ R) = 35%
• P(Rock e Música Clássica) = P(R $\cap$ C) = 30%
• P(Samba e Rock e Música Clássica) = P(S $\cap$ R $\cap$ C) = 10%

Atenção à informação: "5% gostam apenas de samba e música clássica". Isso significa que 5% gostam de samba e música clássica, mas não de rock.
Para aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão, precisamos da interseção completa de Samba e Música Clássica, que inclui aqueles que também gostam de Rock.
Então, $P(S \cap C) = P(\text{Samba e Clássica, mas não Rock}) + P(\text{Samba e Rock e Clássica})$
$P(S \cap C) = 5\% + 10\% = 15\%$.

Agora, aplicamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para a união de três conjuntos:
$P(S \cup R \cup C) = P(S) + P(R) + P(C) - P(S \cap R) - P(S \cap C) - P(R \cap C) + P(S \cap R \cap C)$
$P(S \cup R \cup C) = 40\% + 75\% + 53\% - 35\% - 15\% - 30\% + 10\%$
$P(S \cup R \cup C) = (40 + 75 + 53) - (35 + 15 + 30) + 10$
$P(S \cup R \cup C) = 168 - 80 + 10$
$P(S \cup R \cup C) = 88 + 10$
$P(S \cup R \cup C) = 98\%$

Este é o percentual de pessoas que gostam de pelo menos um dos três estilos musicais.
O percentual de pessoas que NÃO gostam de nenhum dos três estilos é o complemento:
$P(\text{Nenhum}) = 100\% - P(S \cup R \cup C)$
$P(\text{Nenhum}) = 100\% - 98\% = 2\%$

(A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se houvesse um pequeno erro aritmético no cálculo da união, por exemplo, se $P(S \cup R \cup C)$ fosse calculado como 99% em vez de 98%.
(B) Incorreta: Esta alternativa implicaria que 100% das pessoas gostam de pelo menos um estilo musical, o que não é o caso.
(C) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se $P(S \cup R \cup C)$ fosse calculado como 96% em vez de 98%.
(D) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se $P(S \cup R \cup C)$ fosse calculado como 97% em vez de 98%.
(E) Correta: O cálculo detalhado usando o Princípio da Inclusão-Exclusão, com a correta interpretação de "apenas", leva a 98% de pessoas que gostam de pelo menos um estilo, resultando em 2% para aqueles que não gostam de nenhum. A armadilha mais tentadora da banca é a interpretação de "5% gostam apenas de samba e música clássica". Se o estudante usasse esse valor (5%) como a interseção completa $P(S \cap C)$ na fórmula (em vez do correto 15%), o resultado para $P(S \cup R \cup C)$ seria 108%, um valor impossível que indicaria um erro. No entanto, um erro sutil, como uma pequena falha aritmética ao somar as interseções ou ao calcular $P(S \cap C)$ (por exemplo, 14% em vez de 15%), poderia levar a uma das outras alternativas.