Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FCC TRT4 2022 (nº 20)

Para maximizar o número de amigos, devemos escolher as datas de aniversário que geram as menores somas de algarismos, garantindo que todas as datas sejam diferentes. A soma de algarismos de uma data (dia e mês) é $d_1+d_2+m_1+m_2$.

Vamos listar a quantidade de datas possíveis para as menores somas:

• Soma = 2: (01/Jan: 0+1+0+1=2), (10/Jan: 1+0+0+1=2), (01/Out: 0+1+1+0=2), (10/Out: 1+0+1+0=2). Total: 4 datas.
• Soma = 3:
  • (Soma Dia = 1, Soma Mês = 2): (01/Fev: 0+1+0+2=3), (10/Fev: 1+0+0+2=3), (01/Nov: 0+1+1+1=3), (10/Nov: 1+0+1+1=3). (4 datas)
  • (Soma Dia = 2, Soma Mês = 1): (02/Jan: 0+2+0+1=3), (11/Jan: 1+1+0+1=3), (20/Jan: 2+0+0+1=3), (02/Out: 0+2+1+0=3), (11/Out: 1+1+1+0=3), (20/Out: 2+0+1+0=3). (6 datas)
  • Total: 10 datas.

Agora, vamos acumular amigos e somas para atingir 35:

1. 4 amigos com soma 2 cada: $4 \times 2 = 8$. (Total amigos = 4, Soma acumulada = 8)
2. Adicionamos os próximos amigos com a menor soma possível (soma 3). Temos 10 datas com soma 3.
   • Se adicionarmos todos os 10 amigos: $10 \times 3 = 30$.
   • Total amigos = $4 + 10 = 14$.
   • Soma acumulada = $8 + 30 = 38$.

Temos 14 amigos com uma soma total de 38. Precisamos que a soma seja 35.
A diferença é $38 - 35 = 3$. Para maximizar o número de amigos, devemos remover o menor número possível de amigos, e cada amigo removido deve ter a maior soma possível dentre os escolhidos.
No nosso conjunto de 14 amigos, temos 4 amigos com soma 2 e 10 amigos com soma 3.
Para reduzir a soma em 3, podemos remover um amigo que contribuiu com soma 3.

• Número de amigos = $14 - 1 = 13$.
• Soma total = $38 - 3 = 35$.
  Assim, é possível ter 13 amigos com a soma total de 35.

(A) Incorreta: 12 amigos é possível, mas não é o número máximo. Por exemplo, 4 amigos com soma 2 e 8 amigos com soma 3 resultam em 12 amigos com soma 32. Para chegar a 35, precisaríamos de mais 3 na soma, o que pode ser feito substituindo um amigo de soma 2 por um de soma 5 (32 + 83 + 1*5 = 35). No entanto, 13 é maior.
(B) Incorreta: 11 amigos é possível, mas não é o número máximo.
(C) Incorreta: 14 amigos resultaria em uma soma mínima de 38, que é maior que 35. Portanto, 14 amigos não é possível.
(D) Incorreta: 15 amigos resultaria em uma soma mínima ainda maior que 38, sendo impossível.
(E) Correta: Conforme a análise, 13 amigos é o número máximo possível. Para ter 14 amigos, a soma mínima seria 38 (4 amigos com soma 2 e 10 amigos com soma 3), que excede 35. Ao remover um amigo com soma 3 do conjunto de 14, obtemos 13 amigos com uma soma total de 35.