Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FCC TRT22 2022 (nº 16)

Este problema de raciocínio lógico-matemático exige a interpretação de informações e a construção de um sistema de equações para determinar a quantidade de moedas de diferentes valores (R$1,00, R$0,50 e R$0,10) que satisfazem todas as condições dadas.

Passo a passo da resolução:

1. Informações Gerais:

   • Sejam $M_1$, $M_{0.50}$ e $M_{0.10}$ o número total de moedas de R$1,00, R$0,50 e R$0,10, respectivamente.
   • Sabemos que $M_{0.10} = 10$ (total de moedas de 10 centavos).
   • Sabemos que $M_1 \ge 1$ (pelo menos uma moeda de 1 real).
   • O valor total nas três gavetas é R$3,00. Isso se traduz na equação:
     $1 \cdot M_1 + 0.50 \cdot M_{0.50} + 0.10 \cdot M_{0.10} = 3.00$
     Substituindo $M_{0.10}=10$:
     $M_1 + 0.50 \cdot M_{0.50} + 0.10 \cdot 10 = 3.00$
     $M_1 + 0.50 \cdot M_{0.50} + 1 = 3.00$
     $M_1 + 0.50 \cdot M_{0.50} = 2.00$ (Equação A)

2. Análise da Primeira Gaveta:

   • Contém 6 moedas e totaliza R$1,00.
   • Dedução crucial: Se houvesse uma moeda de R$1,00 ou mais, o valor já seria R$1,00 ou mais. Para o total ser exatamente R$1,00 com 6 moedas, não pode haver moedas de R$1,00 (pois se houvesse 1 moeda de R$1,00, as outras 5 moedas teriam que somar R$0,00, o que é impossível).
   • Portanto, a primeira gaveta só tem moedas de R$0,50 e R$0,10.
   • Seja $m_{1,0.50}$ o número de moedas de R$0,50 e $m_{1,0.10}$ o número de moedas de R$0,10 na primeira gaveta.
   • $m_{1,0.50} + m_{1,0.10} = 6$ (total de moedas)
   • $0.50 \cdot m_{1,0.50} + 0.10 \cdot m_{1,0.10} = 1.00$ (valor total)
   • Multiplicando a segunda equação por 10 para eliminar decimais: $5 \cdot m_{1,0.50} + m_{1,0.10} = 10$.
   • Da primeira equação, $m_{1,0.10} = 6 - m_{1,0.50}$. Substituindo na equação modificada:
     $5 \cdot m_{1,0.50} + (6 - m_{1,0.50}) = 10$
     $4 \cdot m_{1,0.50} + 6 = 10$
     $4 \cdot m_{1,0.50} = 4 \implies m_{1,0.50} = 1$.
   • Então, $m_{1,0.10} = 6 - 1 = 5$.
   • Conclusão para Gaveta 1: 1 moeda de R$0,50 e 5 moedas de R$0,10.

3. Análise da Segunda Gaveta:

   • Totaliza R$0,50.
   • Similar à Gaveta 1, não pode haver moedas de R$1,00 (pois o valor total é R$0,50).
   • As moedas podem ser:
     • 1 moeda de R$0,50 (e 0 de R$0,10)
     • 5 moedas de R$0,10 (e 0 de R$0,50)

4. Determinação dos Totais de Moedas de R$1,00 e R$0,50:

   • Voltando à Equação A: $M_1 + 0.50 \cdot M_{0.50} = 2.00$.
   • Como $M_1$ deve ser um número inteiro (contagem de moedas), $0.50 \cdot M_{0.50}$ deve ser um valor que, subtraído de 2.00, resulte em um inteiro. Isso significa que $M_{0.50}$ deve ser um número par.
   • Já sabemos que há pelo menos 1 moeda de R$0,50 na Gaveta 1 ($m_{1,0.50}=1$).
   • Testando valores pares para $M_{0.50}$:
     • Se $M_{0.50} = 0$: Impossível, pois já temos 1 moeda de R$0,50 na Gaveta 1.
     • Se $M_{0.50} = 2$: $M_1 + 0.50 \cdot 2 = 2.00 \implies M_1 + 1 = 2.00 \implies M_1 = 1$. Esta solução é válida, pois $M_1=1$ satisfaz a condição de "pelo menos uma moeda de 1 real".
     • Se $M_{0.50} = 4$: $M_1 + 0.50 \cdot 4 = 2.00 \implies M_1 + 2 = 2.00 \implies M_1 = 0$. Isso contradiz a condição de "pelo menos uma moeda de 1 real".
   • Portanto, a única combinação válida é: $M_1 = 1$ (total de moedas de R$1,00) e $M_{0.50} = 2$ (total de moedas de R$0,50).

5. Cálculo do Número Total de Moedas:

   • $M_1 = 1$
   • $M_{0.50} = 2$
   • $M_{0.10} = 10$
   • Número total de moedas = $M_1 + M_{0.50} + M_{0.10} = 1 + 2 + 10 = 13$.

(A) Incorreta: O cálculo detalhado mostra que o número total de moedas é 13, não 20.
(B) Incorreta: O cálculo detalhado mostra que o número total de moedas é 13, não 10. Armadilha da banca: Esta alternativa tenta confundir o aluno, pois "10" é o número total de moedas de 10 centavos, não o total de todas as moedas. O aluno desatento poderia marcar esta opção por associar o número 10 diretamente ao total.
(C) Incorreta: O cálculo detalhado mostra que o número total de moedas é 13, não 15.
(D) Correta: A análise passo a passo das condições e restrições leva inequivocamente ao total de 13 moedas (1 de R$1,00, 2 de R$0,50 e 10 de R$0,10).
(E) Incorreta: O cálculo detalhado mostra que o número total de moedas é 13, não 17.