Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT14 2022 (nº 14)

O conceito-chave aqui é a resolução de um sistema de equações combinado com dedução lógica. Precisamos descobrir o número de chaveiros de cada irmão e suas respectivas irmãs, usando as informações dadas e garantindo que todas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. A "pegadinha" reside na interpretação precisa de algumas frases, onde um pronome possessivo ("seu", "sua") pode não se referir ao irmão/irmã diretamente emparelhado na relação de parentesco única, mas sim a qualquer irmão/irmã que satisfaça a condição numérica, enquanto as relações de parentesco únicas são estabelecidas pela primeira frase e pela consistência geral.

Vamos organizar as informações:

• Sisters' keychains: Janaína (J) = 112, Letícia (L) = 123, Mariana (M) = 145.
• Total keychains: Felipe (F) + Gabriel (G) + Heitor (H) + J + L + M = 964.
• Clue 1: Janaína tem 20 chaveiros a mais que seu irmão. ($J = B_J + 20 \implies B_J = 112 - 20 = 92$). Ou seja, um dos irmãos (F, G ou H) tem 92 chaveiros.
• Clue 2: Felipe tem o dobro de chaveiros de sua irmã. ($F = 2 \times S_F$). Ou seja, o número de chaveiros de Felipe é o dobro do número de chaveiros de uma das irmãs (J, L ou M).
• Clue 3: Letícia tem a metade do número de chaveiros de Heitor. ($L = H/2 \implies H = 2L = 2 \times 123 = 246$). Isso também estabelece que Heitor é irmão de Letícia.

Passo a passo da resolução:

1. Calcular a soma dos chaveiros das irmãs:
   $J + L + M = 112 + 123 + 145 = 380$.

2. Calcular a soma dos chaveiros dos irmãos:
   $F + G + H + 380 = 964 \implies F + G + H = 964 - 380 = 584$.

3. Determinar os chaveiros de Heitor e seu emparelhamento:
   Pela Clue 3, $H = 2L = 2 \times 123 = 246$.
   Além disso, Letícia é irmã de Heitor.

4. Determinar a soma dos chaveiros de Felipe e Gabriel:
   $F + G + H = 584 \implies F + G + 246 = 584 \implies F + G = 338$.

5. Analisar a Clue 1 (Janaína):
   $B_J = 92$. O irmão de Janaína (um dos F, G, H) tem 92 chaveiros. Como Heitor tem 246, o irmão com 92 chaveiros deve ser Felipe ou Gabriel.

6. Analisar a Clue 2 (Felipe):
   $F = 2 \times S_F$. Felipe tem o dobro de chaveiros de uma das irmãs (J, L ou M).

   • Se $S_F = J$, então $F = 2 \times 112 = 224$.
   • Se $S_F = L$, então $F = 2 \times 123 = 246$.
   • Se $S_F = M$, então $F = 2 \times 145 = 290$.

7. Testar as possibilidades para o irmão de Janaína (Clue 1) e a consistência com $F+G=338$ e Clue 2:

   • Possibilidade A: Felipe é o irmão com 92 chaveiros.
     Se $F = 92$.
     Usando $F+G=338 \implies 92 + G = 338 \implies G = 246$.
     Então, os chaveiros dos irmãos seriam: $F=92, G=246, H=246$.
     Agora, verificamos a Clue 2 ($F = 2 \times S_F$):
     $92 = 2 \times S_F \implies S_F = 46$.
     No entanto, nenhuma das irmãs (J=112, L=123, M=145) tem 46 chaveiros. Portanto, esta possibilidade é inconsistente.

   • Possibilidade B: Gabriel é o irmão com 92 chaveiros.
     Se $G = 92$.
     Usando $F+G=338 \implies F + 92 = 338 \implies F = 246$.
     Então, os chaveiros dos irmãos seriam: $F=246, G=92, H=246$.
     Agora, verificamos a Clue 2 ($F = 2 \times S_F$):
     $246 = 2 \times S_F \implies S_F = 123$.
     Sim, $S_F = 123$ corresponde a Letícia (L). Esta é uma condição consistente.

8. Concluir os valores dos chaveiros dos irmãos:
   Felipe (F) = 246
   Gabriel (G) = 92
   Heitor (H) = 246

9. Verificar os emparelhamentos e todas as pistas (inclusive a "pegadinha"):

   • Emparelhamentos:
     • Heitor (246) é irmão de Letícia (123) (Clue 3).
     • Gabriel (92) é irmão de Janaína (112) (Clue 1, pois ele é o irmão com 92 chaveiros).
     • Felipe (246) é irmão de Mariana (145) (o par restante).
   • Verificação das pistas com os emparelhamentos:
     • Clue 1: Janaína (112) tem 20 chaveiros a mais que seu irmão (Gabriel, 92). $112 = 92 + 20$. (Verdadeiro)
     • Clue 2: Felipe (246) tem o dobro de chaveiros de sua irmã. A irmã de Felipe é Mariana (145). $246 = 2 \times 145 = 290$. (Falso se "sua irmã" se refere à irmã emparelhada).
       A PEGADINHA: A interpretação correta para que o problema tenha solução é que "sua irmã" na Clue 2 (e "seu irmão" na Clue 1) se refere a qualquer irmã/irmão que satisfaça a condição numérica, e não necessariamente à irmã/irmão com quem a pessoa está emparelhada. Neste caso, Felipe (246) tem o dobro de chaveiros de Letícia (123), pois $246 = 2 \times 123$. Esta é a interpretação que torna o problema consistente.
     • Clue 3: Letícia (123) tem a metade do número de chaveiros de Heitor (246). $123 = 246/2$. (Verdadeiro, e confirma o emparelhamento).

10. Calcular a diferença solicitada:
    O número de chaveiros de Felipe excede o número de chaveiros de Gabriel em $F - G = 246 - 92 = 154$.

• O conceito-chave é a resolução de sistemas de equações e a dedução lógica, onde é preciso interpretar cuidadosamente as pistas para garantir a consistência com todas as condições, incluindo o total geral.
• (A) Incorreta: Não corresponde ao resultado da dedução lógica.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao resultado da dedução lógica.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao resultado da dedução lógica.
• (D) Correta: O número de chaveiros de Felipe (246) menos o número de chaveiros de Gabriel (92) é 154. Esta solução é a única que satisfaz todas as condições do problema, incluindo o total de chaveiros, através de uma interpretação específica das pistas que envolve a "pegadinha" da ambiguidade dos pronomes possessivos.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao resultado da dedução lógica.