Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT14 2022 (nº 15)

A teoria dos conjuntos nos ajuda a organizar informações sobre grupos de elementos, e o Princípio da Inclusão-Exclusão é uma ferramenta para contar elementos em uniões de conjuntos, evitando contagens duplicadas.

Conceito-chave:

1. Interpretação do Conjunto Universal: "Um grupo de 188 alpinistas conversa no topo do Morro de São Jerônimo" significa que todos os 188 alpinistas já escalaram o Morro de São Jerônimo. Portanto, o Morro de São Jerônimo (S) é o conjunto universal para este problema, e a pergunta "escalaram Morro de São Jerônimo, Pico da Neblina e Pico da Bandeira" se reduz a "escalaram Pico da Neblina e Pico da Bandeira", ou seja, $n(N \cap B)$.
2. Interpretação da "Primeira Escalada": "54 pessoas desse grupo é a primeira escalada que fazem" significa que essas 54 pessoas escalaram apenas o Morro de São Jerônimo (entre os três mencionados). Elas não escalaram o Pico da Neblina nem o Pico da Bandeira.

Resolução:

• Total de alpinistas (que escalaram São Jerônimo) = 188.
• Alpinistas que escalaram o Pico da Neblina ($n(N)$) = 37.
• Alpinistas que escalaram o Pico da Bandeira ($n(B)$) = 99.
• Alpinistas que escalaram apenas o Morro de São Jerônimo (não escalaram Neblina nem Bandeira) = 54.

O número de alpinistas que escalaram pelo menos um dos picos Neblina ou Bandeira ($n(N \cup B)$) é o total de alpinistas menos aqueles que só escalaram São Jerônimo:
$n(N \cup B) = 188 - 54 = 134$.

Agora, aplicamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos (Neblina e Bandeira):
$n(N \cup B) = n(N) + n(B) - n(N \cap B)$
$134 = 37 + 99 - n(N \cap B)$
$134 = 136 - n(N \cap B)$
$n(N \cap B) = 136 - 134$
$n(N \cap B) = 2$.

(A) Correta: O cálculo correto, interpretando que todos os 188 escalaram o Morro de São Jerônimo e que os 54 são os que escalaram apenas este morro, leva a $n(N \cap B) = 2$.
(B) Incorreta: Esta alternativa resulta de um erro de cálculo ou de uma interpretação incorreta dos dados, como um erro na determinação de $n(N \cup B)$ ou na aplicação da fórmula. A armadilha pode ser pensar que os 54 alpinistas são o valor da intersecção ou que $n(N \cup B)$ deveria ser outro valor, como $131$(se fosse$131 = 37 + 99 - x \implies x = 5$).
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado obtido pela aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão com os dados fornecidos.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado obtido pela aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão com os dados fornecidos.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado obtido pela aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão com os dados fornecidos.