Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT14 2022 (nº 14)

O reconhecimento de padrão numérico é a identificação da regra ou lógica que gera os termos de uma sequência, permitindo prever termos futuros. Essa lógica pode ser uma combinação de operações aritméticas que se repetem ou se transformam.

A sequência é: 3, 6, 36, 12, 15, 90, 30, 33, ….
Analisando os termos, percebemos um padrão:
Os três primeiros termos são:
$a_1 = 3$
$a_2 = a_1 \times 2 = 3 \times 2 = 6$
$a_3 = a_2 \times 6 = 6 \times 6 = 36$

A partir do quarto termo, a sequência segue um ciclo de três operações:
$a_4 = a_3 / 3 = 36 / 3 = 12$
$a_5 = a_4 + 3 = 12 + 3 = 15$
$a_6 = a_5 \times 6 = 15 \times 6 = 90$

$a_7 = a_6 / 3 = 90 / 3 = 30$
$a_8 = a_7 + 3 = 30 + 3 = 33$
$a_9 = a_8 \times 6 = 33 \times 6 = 198$

Podemos generalizar o padrão para $n > 3$:

• Se $n \equiv 1 \pmod 3$: $a_n = a_{n-1} / 3$
• Se $n \equiv 2 \pmod 3$: $a_n = a_{n-1} + 3$
• Se $n \equiv 0 \pmod 3$: $a_n = a_{n-1} \times 6$

Queremos encontrar o 100º termo ($a_{100}$). Como $100 = 3 \times 33 + 1$, o 100º termo é do tipo $a_{3k+1}$.
Vamos definir uma subsequência $b_k$ para os termos $a_{3k+1}$, começando com $k=0$:
$b_0 = a_1 = 3$
$b_1 = a_4 = 12$
$b_2 = a_7 = 30$
$b_3 = a_{10} = 66$

Para encontrar a relação de recorrência para $b_k$:
$b_{k+1} = a_{3(k+1)+1} = a_{3k+4}$
Aplicando as regras do padrão:
$a_{3k+4} = a_{3k+3} / 3$
$a_{3k+3} = a_{3k+2} \times 6$
$a_{3k+2} = a_{3k+1} + 3$
Substituindo de volta: $b_{k+1} = ((a_{3k+1} + 3) \times 6) / 3 = (b_k + 3) \times 2 = 2b_k + 6$.

A relação de recorrência é $b_{k+1} = 2b_k + 6$. Para resolvê-la, procuramos um ponto fixo $L$ tal que $L = 2L + 6 \Rightarrow L = -6$.
Então, $b_{k+1} - (-6) = 2(b_k - (-6)) \Rightarrow b_{k+1} + 6 = 2(b_k + 6)$.
Chamando $c_k = b_k + 6$, temos $c_{k+1} = 2c_k$. Esta é uma progressão geométrica com razão 2.
O termo inicial $c_0 = b_0 + 6 = a_1 + 6 = 3 + 6 = 9$.
Assim, $c_k = c_0 \cdot 2^k = 9 \cdot 2^k$.
Voltando para $b_k$: $b_k + 6 = 9 \cdot 2^k \Rightarrow b_k = 9 \cdot 2^k - 6$.

Queremos o 100º termo, que é $a_{100}$. Como $100 = 3 \times 33 + 1$, $a_{100}$ corresponde a $b_{33}$.
Substituindo $k=33$ na fórmula de $b_k$:
$a_{100} = b_{33} = 9 \cdot 2^{33} - 6$.

Agora, vamos verificar as alternativas:
(A) Incorreta: $3 \cdot 2^{24} + 6 \cdot (2^{24} - 1) = 3 \cdot 2^{24} + 6 \cdot 2^{24} - 6 = 9 \cdot 2^{24} - 6$. Este valor não corresponde ao 100º termo.
(B) Incorreta: $3 \cdot 2^{25} + 6 \cdot (2^{25} - 1) = 3 \cdot 2^{25} + 6 \cdot 2^{25} - 6 = 9 \cdot 2^{25} - 6$. Este valor não corresponde ao 100º termo.
(C) Incorreta: $3 \cdot 2^{32} + 6 \cdot (2^{32} - 1) = 3 \cdot 2^{32} + 6 \cdot 2^{32} - 6 = 9 \cdot 2^{32} - 6$. Esta alternativa seria o resultado se houvesse um erro de cálculo do índice, levando ao $a_{97}$ (que é $b_{32}$) em vez de $a_{100}$ ($b_{33}$). É um distrator tentador para quem comete um erro "off-by-one" na contagem dos termos da subsequência.
(D) Correta: $3 \cdot 2^{33} + 6 \cdot (2^{33} - 1) = 3 \cdot 2^{33} + 6 \cdot 2^{33} - 6 = (3+6) \cdot 2^{33} - 6 = 9 \cdot 2^{33} - 6$. Este valor corresponde exatamente ao 100º termo que calculamos.
(E) Incorreta: $3 \cdot 2^{50} + 6 \cdot (2^{50} - 1) = 3 \cdot 2^{50} + 6 \cdot 2^{50} - 6 = 9 \cdot 2^{50} - 6$. Este valor não corresponde ao 100º termo.