Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT14 2022 (nº 12)

Grandezas Inversamente Proporcionais significam que, se uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção. Para resolver problemas com divisão em partes inversamente proporcionais, transformamos a relação em uma divisão diretamente proporcional aos inversos das grandezas.

Vamos denotar os prêmios como $P_1, P_2, P_3$ e os tempos de corrida como $T_1, T_2, T_3$ para o 1º, 2º e 3º colocados, respectivamente.
Sabemos que o prêmio total é R$ 7.685,00.
Os prêmios são inversamente proporcionais aos tempos, então o produto do prêmio pelo tempo é constante: $P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot T_2 = P_3 \cdot T_3 = k$.
Isso implica que $P_1 = \frac{k}{T_1}$, $P_2 = \frac{k}{T_2}$, $P_3 = \frac{k}{T_3}$.

Informações dadas:

1. $P_3 = 2.030,00$ (terceiro colocado, maior tempo, menor prêmio).
2. O tempo do segundo colocado ($T_2$) corresponde a sete sextos do tempo do vencedor ($T_1$): $T_2 = \frac{7}{6} T_1$.

Como os prêmios são inversamente proporcionais aos tempos, podemos relacionar $P_2$ e $P_1$:
$P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot T_2$
$P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot \left(\frac{7}{6} T_1\right)$
Dividindo ambos os lados por $T_1$:
$P_1 = P_2 \cdot \frac{7}{6} \implies P_2 = P_1 \cdot \frac{6}{7}$.

Agora, usamos a soma dos prêmios:
$P_1 + P_2 + P_3 = 7.685$
Substituímos $P_2$ e $P_3$:
$P_1 + \frac{6}{7} P_1 + 2.030 = 7.685$
Subtraímos R$ 2.030,00 do total:
$P_1 + \frac{6}{7} P_1 = 7.685 - 2.030$
$P_1 + \frac{6}{7} P_1 = 5.655$
Para somar as frações, colocamos $P_1$ com o denominador 7:
$\frac{7P_1}{7} + \frac{6P_1}{7} = 5.655$
$\frac{13P_1}{7} = 5.655$
Agora, isolamos $P_1$:
$13P_1 = 5.655 \times 7$
$13P_1 = 39.585$
$P_1 = \frac{39.585}{13}$
$P_1 = 3.045$

O valor recebido pelo vencedor (primeiro colocado) foi R$ 3.045,00.

(A) Incorreta: R$ 3.010,00. Este valor não satisfaz a soma total dos prêmios com as proporções corretas. Se $P_1 = 3010$, então $P_2 = \frac{6}{7} \times 3010 = 2580$. A soma seria $3010 + 2580 + 2030 = 7620, que é diferente de R\ 7.685,00.
(B) Incorreta: R$ 3.080,00. Este valor não satisfaz a soma total dos prêmios com as proporções corretas. Se $P_1 = 3080$, então $P_2 = \frac{6}{7} \times 3080 = 2640$. A soma seria $3080 + 2640 + 2030 = 7750, que é diferente de R\ 7.685,00.
(C) Correta: R$ 3.045,00. Conforme demonstrado no cálculo acima, este valor é obtido ao aplicar corretamente o conceito de grandezas inversamente proporcionais e resolver a equação resultante.
(D) Incorreta: R$ 3.066,00. Este valor não satisfaz a soma total dos prêmios com as proporções corretas. Se $P_1 = 3066$, então $P_2 = \frac{6}{7} \times 3066 = 2628$. A soma seria $3066 + 2628 + 2030 = 7724, que é diferente de R\ 7.685,00.
(E) Incorreta: R$ 3.031,00. Esta alternativa é um distrator tentador que resulta de um erro comum em divisões longas. Ao calcular $P_1 = \frac{39.585}{13}$, um aluno pode cometer um pequeno erro na divisão $5655 \div 13$. Se, por exemplo, o aluno calculasse $5655 \div 13 = 433$ (ao invés de $435$), então$P_1 = 433 \times 7 = 3031$. A armadilha da banca aqui é testar a precisão aritmética do estudante em uma etapa crucial do cálculo.