Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT-1 2025 (nº 14)

Para resolver, primeiro descobrimos o menor número de bolinhas que Bruno pode ter, usando os restos das divisões. Depois, calculamos quantas bolinhas ele precisa adquirir para que o total seja um múltiplo comum dos divisores.

• Conceito-chave: O problema envolve encontrar um número que satisfaça certas condições de resto de divisão (congruência) e, em seguida, determinar o acréscimo necessário para que o novo total seja um múltiplo comum dos divisores, ou seja, um múltiplo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC).

• Passo 1: Descobrir o número inicial de bolinhas (N).

  • "Dividiu em grupos de 3 bolinhas e sobraram duas": $N \equiv 2 \pmod{3}$. Possíveis valores para N: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ...
  • "Dividiu em grupos de 5 e sobrou uma bolinha": $N \equiv 1 \pmod{5}$. Possíveis valores para N: 1, 6, 11, 16, 21, 26, ...
  • O menor número que satisfaz ambas as condições é 11. (11 dividido por 3 dá 3 com resto 2; 11 dividido por 5 dá 2 com resto 1).

• Passo 2: Determinar o objetivo final.

  • Bruno quer adquirir 'x' bolinhas para que o total ($11+x$) seja divisível por 3 e por 5, sem sobrar nada.
  • Isso significa que $11+x$ deve ser um múltiplo de 3 e um múltiplo de 5.
  • Portanto, $11+x$ deve ser um múltiplo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 3 e 5.
  • MMC(3, 5) = 15 (já que 3 e 5 são números primos, o MMC é o produto deles).
  • Os múltiplos de 15 são: 15, 30, 45, ...

• Passo 3: Calcular quantas bolinhas adquirir.

  • Bruno tem 11 bolinhas. O próximo múltiplo de 15 (o MMC) é 15.
  • Para chegar a 15, ele precisa de $15 - 11 = 4$ bolinhas.

• Verificação: Se ele adquirir 4 bolinhas, terá $11+4=15$ bolinhas.

  • 15 dividido por 3 é 5 (resto 0).
  • 15 dividido por 5 é 3 (resto 0).

(A) Incorreta: Se adquirir 5 bolinhas, terá $11+5=16$. 16 não é divisível por 3 (sobra 1). **(B) Correta:** Bruno tem 11 bolinhas. Para que o total seja divisível por 3 e por 5, deve ser um múltiplo de MMC(3,5)=15. O próximo múltiplo de 15 após 11 é o próprio 15. Assim,$11+x=15 \implies x=4. **(C) Incorreta:** Se adquirir 2 bolinhas, terá \11+2=13undefined11+1=12undefined11+3=14$. 14 não é divisível por 3 (sobra 2) nem por 5 (sobra 4).