Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRF4 2019 (nº 15)

Para resolver problemas com potências (números elevados a um expoente), precisamos aplicar corretamente as propriedades das potências, que nos permitem simplificar expressões como $(a \times b)^m = a^m \times b^m$ e $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa é o resultado de uma aplicação incorreta das propriedades das potências. O erro comum é dividir as bases ($50/25 = 2) e subtrair os expoentes (\50-25 = 25$) diretamente, chegando a$2^{25}$. Essa operação só seria válida se as bases fossem iguais na divisão ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$) ou se os expoentes fossem iguais e as bases pudessem ser divididas ($\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$). Como nem as bases nem os expoentes são iguais inicialmente, essa simplificação é um atalho incorreto. Esta é a armadilha mais comum da banca, pois tenta induzir o erro de aplicar uma regra de forma equivocada.

(B) Incorreta: Não há uma sequência de operações corretas que leve a $10^{25}$. Para obter $10^{25}$, precisaríamos de $2^{25} \times 5^{25}$, o que não é o resultado da expressão original.

(C) Correta: Para calcular $\frac{50^{50}}{25^{25}}$, seguimos os passos:

1. Reescreva a base 50 em termos de 25: $50 = 2 \times 25$.
   Então, $50^{50} = (2 \times 25)^{50}$.
2. Aplique a propriedade da potência de um produto $(a \times b)^m = a^m \times b^m$:
   $50^{50} = 2^{50} \times 25^{50}$.
3. Substitua na expressão original: $\frac{2^{50} \times 25^{50}}{25^{25}}$.
4. Aplique a propriedade da divisão de potências com a mesma base $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ para as potências de 25:
   $\frac{25^{50}}{25^{25}} = 25^{50-25} = 25^{25}$.
5. A expressão agora é $2^{50} \times 25^{25}$.
6. Reescreva a base 25 em termos de 5: $25 = 5^2$.
   Então, $25^{25} = (5^2)^{25}$.
7. Aplique a propriedade da potência de uma potência $(a^m)^n = a^{m \times n}$:
   $(5^2)^{25} = 5^{2 \times 25} = 5^{50}$.
8. A expressão final é $2^{50} \times 5^{50}$.
9. Aplique novamente a propriedade da potência de um produto, mas no sentido inverso ($a^m \times b^m = (a \times b)^m$):
   $2^{50} \times 5^{50} = (2 \times 5)^{50} = 10^{50}$.

(D) Incorreta: Não há uma manipulação de potências que resulte em $10^{26}$ a partir da expressão dada.

(E) Incorreta: Esta alternativa não pode ser obtida através de operações corretas com as potências fornecidas.