Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRF4 2019 (nº 14)

A porcentagem de aumento nos mostra o quanto um valor cresceu em relação ao seu valor original. Para calculá-la, dividimos o valor do aumento pelo valor inicial e multiplicamos por 100%.

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Definir as variáveis:

   • Seja $N$ o número inicial de latas na caixa.
   • O preço total da caixa é R$ 1.000,00.

2. Calcular o preço inicial por lata:

   • Preço inicial por lata ($P_i$) = \frac{\text{Preço total}}{\text{Número inicial de latas}} = \frac{1000}{N}\

3. Calcular o preço final por lata:

   • O comerciante retira 5 latas, então sobram $N - 5$ latas.
   • Ele vende essas $N - 5$ latas pelo mesmo preço, R$ 1.000,00.
   • Preço final por lata ($P_f$) = \frac{\text{Preço total}}{\text{Número final de latas}} = \frac{1000}{N - 5}\

4. Usar a informação sobre a dúzia:

   • O problema diz que "o preço de cada dúzia de latas do azeite aumenta em R$ 120,00 em relação ao preço que ele pagou".
   • Aumento no preço de uma dúzia = (Preço final de uma dúzia) - (Preço inicial de uma dúzia)
   • $120 = (12 \times P_f) - (12 \times P_i)$
   • 120 = 12 \times \left( \frac{1000}{N - 5} \right) - 12 \times \left( \frac{1000}{N} \right)\

5. Resolver a equação para encontrar N:

   • Divida toda a equação por 12:
     $10 = \frac{1000}{N - 5} - \frac{1000}{N}$
   • Divida toda a equação por 10:
     $1 = \frac{100}{N - 5} - \frac{100}{N}$
   • Coloque 100 em evidência:
     $1 = 100 \left( \frac{1}{N - 5} - \frac{1}{N} \right)$
   • Encontre um denominador comum para as frações dentro do parêntese:
     $1 = 100 \left( \frac{N - (N - 5)}{N(N - 5)} \right)$
     $1 = 100 \left( \frac{N - N + 5}{N(N - 5)} \right)$
     $1 = 100 \left( \frac{5}{N(N - 5)} \right)$
   • Simplifique:
     $1 = \frac{500}{N(N - 5)}$
   • Multiplique cruzado:
     $N(N - 5) = 500$
     $N^2 - 5N = 500$
     $N^2 - 5N - 500 = 0$
   • Resolvendo a equação quadrática (pode-se testar valores ou usar a fórmula de Bhaskara). Procuramos dois números cujo produto seja -500 e a soma seja 5. Os números são 25 e -20.
     $(N - 25)(N + 20) = 0$
   • Como o número de latas ($N$) deve ser positivo, $N = 25$.

6. Calcular os preços por lata:

   • Preço inicial por lata ($P_i$) = \frac{1000}{25} = R\ 40,00$
   • Preço final por lata ($P_f$) = \frac{1000}{25 - 5} = \frac{1000}{20} = R\ 50,00$

7. Calcular o aumento percentual:

   • Aumento no preço por lata = P_f - P_i = 50 - 40 = R\ 10,00$
   • Aumento percentual = $\frac{\text{Aumento}}{\text{Preço inicial}} \times 100\%$
   • Aumento percentual = $\frac{10}{40} \times 100\%$
   • Aumento percentual = $\frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o cálculo do aumento percentual fosse feito dividindo o aumento de R$ 10,00 pelo preço final (R$ 50,00), resultando em $\frac{10}{50} = 0,20 = 20\%$. Armadilha da banca: Um erro comum é usar o valor final como base para o cálculo da porcentagem de aumento, em vez do valor inicial.
• (B) Correta: O aumento percentual foi de 25%, conforme demonstrado nos cálculos, que seguiram a definição correta de aumento percentual em relação ao valor inicial.
• (C) Incorreta: Não há um caminho lógico direto para este valor com base nos dados do problema.
• (D) Incorreta: Não há um caminho lógico direto para este valor com base nos dados do problema.
• (E) Incorreta: Não há um caminho lógico direto para este valor com base nos dados do problema.