Questão de Raciocínio Lógico · FCC TJ-MA 2019 (nº 16)

Para resolver sequências numéricas, o conceito-chave é identificar o padrão de formação dos termos, geralmente agrupando-os em blocos ou grupos que seguem uma regra. Depois, é preciso contar a ocorrência desejada (a 300ª vez do número 1) e, por fim, determinar sua posição na sequência.

A sequência é (2, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 6, …).
Podemos observar a formação em grupos:

• Grupo 1: (2) - Contém 0 números '1'. Tem 1 termo.
• Grupo 2: (1, 3) - Contém 1 número '1'. Tem 2 termos.
• Grupo 3: (1, 1, 4) - Contém 2 números '1'. Tem 3 termos.
• Grupo 4: (1, 1, 1, 5) - Contém 3 números '1'. Tem 4 termos.
• Grupo G_m: (m-1 números '1', m+1) - Contém (m-1) números '1'. Tem m termos.

1. Encontrar em qual grupo está o 300º número '1':
   Vamos somar a quantidade de '1's nos grupos.
   A quantidade total de '1's até o final do Grupo G_m é a soma dos '1's de cada grupo:
   $S_1(m) = 0 + 1 + 2 + ... + (m-1)$
   Esta é a soma de uma progressão aritmética, que pode ser escrita como $S_1(m) = \frac{(m-1) \cdot m}{2}$.
   Queremos encontrar o 'm' tal que $S_1(m)$ seja igual ou maior que 300.
   $\frac{(m-1) \cdot m}{2} = 300$
   $(m-1) \cdot m = 600$
   Procuramos dois números consecutivos cujo produto seja 600.
   Sabemos que $24 \cdot 25 = 600$.
   Portanto, $m-1 = 24$, o que implica $m = 25$.
   Isso significa que o 300º número '1' é o último '1' do Grupo G_25.
   O Grupo G_25 é composto por (24 números '1', 26).

2. Calcular a posição do 300º número '1':
   A posição do último termo de um grupo G_m é a soma dos comprimentos de todos os grupos até G_m.
   O comprimento do Grupo G_m é 'm'.
   A posição do último termo de G_m é $S_L(m) = 1 + 2 + 3 + ... + m = \frac{m \cdot (m+1)}{2}$.
   Para $m=25$, a posição do último termo do Grupo G_25 (que é o número 26) é:
   $S_L(25) = \frac{25 \cdot (25+1)}{2} = \frac{25 \cdot 26}{2} = 25 \cdot 13 = 325$.
   O Grupo G_25 é (24 números '1', 26). O número 26 está na posição 325.
   Como o 300º número '1' é o último '1' desse grupo, ele está imediatamente antes do número 26.
   Portanto, a posição do 300º número '1' é $325 - 1 = 324$.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo do padrão da sequência.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo do padrão da sequência.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo do padrão da sequência.
• (D) Correta: A 300ª ocorrência do número 1 é o último '1' do Grupo G_25. O último termo desse grupo (o número 26) está na posição 325. Assim, o '1' imediatamente anterior está na posição 324.
• (E) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator para quem comete um erro de cálculo ou interpretação, por exemplo, se calculasse a posição do número 27 (351) e subtraísse um valor incorreto, ou se fizesse uma soma errada no final do processo. No entanto, a armadilha mais comum é confundir a posição do último '1' com a posição do número que o sucede.