Questão de Raciocínio Lógico · FCC TJ-CE 2022 (nº 15)

O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma ferramenta para contar elementos em conjuntos que se sobrepõem, garantindo que nenhum elemento seja contado mais de uma vez ou deixado de fora. Ele nos ajuda a calcular o total de elementos em uma união de conjuntos a partir das somas dos elementos em cada conjunto individual, subtraindo as intersecções de pares e adicionando a intersecção de todos os conjuntos.

Vamos definir os conjuntos:
P = Estudantes que fazem Pintura
C = Estudantes que fazem Cerâmica
K = Estudantes que fazem Capoeira

Dados do problema:

1. Total de estudantes fazendo pelo menos uma atividade (união dos conjuntos): |P \cup C \cup K| = 60\
2. Número de estudantes em cada atividade:
   $|P| = 34$
   $|C| = 24$
   |K| = 30\
3. Número de estudantes que fazem pelo menos 2 atividades extraclasse: 20

A fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos é:
$|P \cup C \cup K| = |P| + |C| + |K| - (|P \cap C| + |P \cap K| + |C \cap K|) + |P \cap C \cap K|$

Vamos usar as seguintes notações para facilitar:
$S_1 = |P| + |C| + |K|$ (soma dos elementos em cada conjunto individual)
$S_2 = |P \cap C| + |P \cap K| + |C \cap K|$ (soma dos elementos nas intersecções de pares)
$S_3 = |P \cap C \cap K|$ (elementos na intersecção dos três conjuntos, que é o que queremos encontrar)

Calculando $S_1$:
$S_1 = 34 + 24 + 30 = 88$

Substituindo na fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão:
$60 = 88 - S_2 + S_3$
Rearranjando, obtemos:
$S_2 - S_3 = 88 - 60$
$S_2 - S_3 = 28$ (Equação 1)

Agora, vamos interpretar a informação "Há 20 estudantes que fazem pelo menos 2 atividades extraclasse".
Isso significa o número de estudantes que fazem exatamente duas atividades ($N_{ex2}$) mais o número de estudantes que fazem exatamente três atividades ($N_{ex3}$).
Então, $N_{ex2} + N_{ex3} = 20$.
Note que $N_{ex3}$ é o mesmo que $S_3$, ou seja, $N_{ex3} = S_3$.

A relação entre $S_2$ e $N_{ex2}$, $N_{ex3}$ é crucial:
$S_2 = (|P \cap C| + |P \cap K| + |C \cap K|)$. Cada estudante que faz exatamente duas atividades é contado uma vez em $S_2$. Cada estudante que faz exatamente três atividades é contado três vezes em $S_2$ (uma vez em cada par de intersecções).
Portanto, $S_2 = N_{ex2} + 3 \times N_{ex3}$.

Agora temos um sistema de equações:

1. S_2 - N_{ex3} = 28\
2. N_{ex2} + N_{ex3} = 20 \implies N_{ex2} = 20 - N_{ex3}\
3. $S_2 = N_{ex2} + 3 \times N_{ex3}$

Substitua $N_{ex2}$ da Equação 2 na Equação 3:
$S_2 = (20 - N_{ex3}) + 3 \times N_{ex3}$
$S_2 = 20 + 2 \times N_{ex3}$

Agora, substitua esta expressão para $S_2$ na Equação 1:
$(20 + 2 \times N_{ex3}) - N_{ex3} = 28$
$20 + N_{ex3} = 28$
$N_{ex3} = 28 - 20$
$N_{ex3} = 8$

O número de estudantes que fazem três atividades extraclasse é 8.

(A) Correta: O cálculo usando o Princípio da Inclusão-Exclusão e a correta interpretação de "pelo menos 2 atividades" leva ao resultado de 8 estudantes fazendo as três atividades.
(B) Incorreta: O valor 6 não é obtido com a aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão e a interpretação dos dados.
(C) Incorreta: Se o estudante interpretar "pelo menos 2 atividades" como "exatamente 2 atividades" ($N_{ex2} = 20$), o cálculo levaria a $N_{ex3} = 4$. Esta é a armadilha da banca: confundir "pelo menos 2" (que inclui quem faz 3) com "exatamente 2".
(D) Incorreta: O valor 7 não é obtido com a aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão e a interpretação dos dados.
(E) Incorreta: O valor 3 não é obtido com a aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão e a interpretação dos dados.