Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC SPPREV 2019 (nº 13)

Criptoaritmética é um tipo de quebra-cabeça matemático onde letras representam dígitos únicos (de 0 a 9) e o objetivo é descobrir qual dígito cada letra representa para que a equação aritmética seja verdadeira.

• (A) Incorreta: A soma B+C não é 9. Se fosse, e.g., B=2, C=7, ao testar na multiplicação, os valores não se encaixariam nas regras de carry-over e distinção de dígitos.
• (B) Correta: Para resolver, analisamos a multiplicação $ABCD \times 9 = DCBA$:
  1. Descobrindo A e D: Como ABCD é um número de 4 dígitos e $A \times 9$ não pode resultar em um número de 5 dígitos (pois DCBA também tem 4 dígitos), A deve ser 1. (Se A fosse 2, $2 \times 9 = 18$, o produto seria um número de 5 dígitos).
  2. Com A=1, o último dígito do produto (A) é 1. Isso significa que $D \times 9$ deve terminar em 1. O único dígito D que satisfaz isso é D = 9 ($9 \times 9 = 81$).
  3. Descobrindo B: Agora temos $1BC9 \times 9 = 9CB1$. Olhando para o primeiro dígito da esquerda: $A \times 9$ (mais qualquer "vai um" da posição B) deve ser igual a D. Como $A=1$ e $D=9$, temos $1 \times 9 + \text{vai um de B} = 9$. Isso implica que o "vai um" de B deve ser 0. Para que não haja "vai um" de B para A, $B \times 9 + \text{vai um de C}$ deve ser menor que 10. O único dígito B (distinto de A=1 e D=9) que permite isso é B = 0. (Se B fosse 2, $2 \times 9 = 18$, geraria um "vai um" de 1 para A).
  4. Descobrindo C: Agora temos $10C9 \times 9 = 9C01$. Vamos multiplicar da direita para a esquerda:
     • $9 \times 9 = 81$. Escrevemos 1 (A), vai 8.
     • $C \times 9 + 8$ (o "vai um" de 81) deve terminar em B (que é 0). Ou seja, $C \times 9 + 8 = \dots 0$.
     • Isso significa que $C \times 9$ deve terminar em 2 (pois $...2 + 8 = ...0$).
     • Qual dígito C (distinto de A=1, B=0, D=9) multiplicado por 9 termina em 2? Apenas C = 8 ($8 \times 9 = 72$).
  5. Verificação: A=1, B=0, C=8, D=9. Todos os dígitos são distintos. $1089 \times 9 = 9801$. A=1, B=0, C=8, D=9. A conta está correta.
  6. Cálculo de B + C: $B + C = 0 + 8 = 8$.
• (C) Incorreta: A soma B+C não é 6. Se fosse, e.g., B=0, C=6, ao testar $1069 \times 9 = 9621$, não corresponderia a DCBA (que seria 9601).
• (D) Incorreta: A soma B+C não é 2. Se fosse, e.g., B=0, C=2, ao testar $1029 \times 9 = 9261$, não corresponderia a DCBA (que seria 9201).
• (E) Incorreta: A soma B+C não é 1. Se fosse, e.g., B=0, C=1, ao testar $1019 \times 9 = 9171$, não corresponderia a DCBA (que seria 9101). A armadilha da banca aqui seria não deduzir que B=0 e tentar combinações de B e C que somem 1, 2, 6 ou 9, sem seguir a lógica das "vai uns" e da distinção de dígitos, levando a um beco sem saída ou a uma resposta incorreta.