Questão de Estatística · FCC PMSP Analista TIC 2025 (nº 19)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de uma faixa de valores que, com uma certa probabilidade (o nível de confiança), contém o verdadeiro valor de um parâmetro populacional, como a média. Ele é construído a partir de dados de uma amostra.

Cálculo do Intervalo de Confiança:
A fórmula para o intervalo de confiança da média populacional ($\mu$) quando o desvio padrão populacional ($\sigma$) é conhecido é:
$IC = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral = 4,8 SM
• $\sigma$ é o desvio padrão populacional = $\sqrt{2,25} = 1,5$ SM
• $n$ é o tamanho da amostra = 100
• $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado.

Para um nível de confiança de 95%:

• $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$
• $\alpha/2 = 0,025$
• Precisamos encontrar o valor de Z tal que a área à sua esquerda seja $1 - \alpha/2 = 1 - 0,025 = 0,975$.
• Pelas informações fornecidas, $P(Z \leq 1,96) = 0,975$. Portanto, $Z_{\alpha/2} = 1,96$.

Agora, calculamos o erro padrão da média:
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1,5}{\sqrt{100}} = \frac{1,5}{10} = 0,15$

Em seguida, calculamos a margem de erro:
Margem de Erro $= Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \times 0,15 = 0,294$

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
$IC = 4,8 \pm 0,294$

• Limite inferior: $4,8 - 0,294 = 4,506$
• Limite superior: $4,8 + 0,294 = 5,094$O intervalo de confiança é$[4,506 ; 5,094]$.

(A) Incorreta: Esta alternativa resulta de usar $Z = 1,64$ (que corresponde a um nível de confiança de 90% ou um teste unilateral de 95%) em vez de $Z = 1,96$ para um intervalo de confiança bilateral de 95%. A margem de erro seria $1,64 \times 0,15 = 0,246$, resultando em $[4,8 \pm 0,246] = [4,554 ; 5,046]$. Esta é a armadilha da banca, pois fornece os dois valores de Z e o candidato deve escolher o correto para o nível de confiança especificado.
(B) Incorreta: Os limites são muito amplos, indicando um erro de cálculo ou uso de um valor Z incorreto e muito maior.
(C) Incorreta: Os limites são muito estreitos, indicando um erro de cálculo ou uso de um valor Z incorreto e muito menor.
(D) Incorreta: Os limites são muito estreitos, indicando um erro de cálculo ou uso de um valor Z incorreto e muito menor.
(E) Correta: O intervalo de confiança calculado $[4,506 ; 5,094]$ corresponde exatamente aos valores obtidos usando a fórmula correta com $\bar{x}=4,8$, $\sigma=1,5$, $n=100$ e $Z_{\alpha/2}=1,96$ para 95% de confiança.