Questão de Raciocínio Lógico · FCC PMSP AMCI 2025 - Prova 1 (nº 63)

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde a diferença entre qualquer termo e o seu anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão (r). Se todos os termos da PA são números inteiros, e o primeiro termo também é inteiro, então a razão $r$ deve ser obrigatoriamente um número inteiro.

O primeiro termo da sequência S é $a_1 = -150$ e o último termo é $a_n = 800$. A diferença entre o último e o primeiro termo é $a_n - a_1 = 800 - (-150) = 950$. Sabemos que $a_n = a_1 + (n-1)r$, então $950 = (n-1)r$. Isso significa que $r$ deve ser um divisor inteiro de 950, e $n-1$ também deve ser um divisor de 950.

Os números -93, 40, 97, 229 e 439 também são termos da sequência. Após excluir um desses cinco números, os quatro restantes, juntamente com $a_1$ e $a_n$, devem formar uma PA. Para que isso ocorra, a diferença entre qualquer um desses termos e $a_1$ deve ser um múltiplo da razão $r$.

Vamos listar as diferenças de cada um dos cinco números em relação a $a_1$:

• $-93 - (-150) = 57$
• $40 - (-150) = 190$
• $97 - (-150) = 247$
• $229 - (-150) = 379$
• $439 - (-150) = 589 Além disso, \950$(a diferença entre$a_n$e$a_1$) também deve ser um múltiplo de$r$.

Precisamos encontrar um $r$ inteiro que seja divisor de 950 e que seja o Máximo Divisor Comum (MDC) das diferenças dos quatro números restantes (após a exclusão de um).

Analisando os fatores primos das diferenças:

• $57 = 3 \times 19$
• $190 = 2 \times 5 \times 19$
• $247 = 13 \times 19$
• $379 = 379$ (número primo)
• $589 = 19 \times 31$
• $950 = 2 \times 5^2 \times 19$

Se a razão $r$ for um inteiro maior que 1, ela deve ser um divisor comum de todas as diferenças dos termos que permanecem na PA.

1. Se excluirmos -93 (removemos 57): As diferenças restantes são $\{190, 247, 379, 589, 950\}$. Como 379 é primo e está nesse conjunto, o MDC só poderia ser 1 ou 379. Se $r=379$, 190 não é múltiplo de 379. Se $r=1$, a PA teria muitos termos e não faria sentido com as alternativas. Não forma uma PA com $r>1$.
2. Se excluirmos 40 (removemos 190): As diferenças restantes são $\{57, 247, 379, 589, 950\}$. Pelo mesmo motivo (presença do 379), não forma uma PA com $r>1$.
3. Se excluirmos 97 (removemos 247): As diferenças restantes são $\{57, 190, 379, 589, 950\}$. Pelo mesmo motivo (presença do 379), não forma uma PA com $r>1$.
4. Se excluirmos 439 (removemos 589): As diferenças restantes são $\{57, 190, 247, 379, 950\}$. Pelo mesmo motivo (presença do 379), não forma uma PA com $r>1$.
5. Se excluirmos 229 (removemos 379): As diferenças restantes são $\{57, 190, 247, 589, 950\}$. Todos esses números são múltiplos de 19.
   • $57 = 3 \times 19$
   • $190 = 10 \times 19$
   • $247 = 13 \times 19$
   • $589 = 31 \times 19$
   • $950 = 50 \times 19$
     O Máximo Divisor Comum (MDC) dessas diferenças é 19. Portanto, a razão da PA é $r=19$.

Com $r=19$, podemos calcular o número total de termos ($n$):
$a_n = a_1 + (n-1)r$
$800 = -150 + (n-1)19 \950 = (n-1)19$$n-1 = 950 / 19$$n-1 = 50$$n = 51$.

Esta solução (excluir 229, resultando em $n=51$) satisfaz todas as condições do problema: a sequência é uma PA, todos os termos são inteiros (pois $a_1$ é inteiro e $r$ é inteiro), e apenas um dos cinco números foi excluído. Isso corresponderia à alternativa E. No entanto, o gabarito oficial é B.

• Conceito-chave: Para uma Progressão Aritmética (PA) formada por números inteiros, a razão (r) (a diferença constante entre termos consecutivos) também deve ser um número inteiro. Além disso, a diferença entre quaisquer dois termos da PA deve ser um múltiplo de $r$.
• (A) Incorreta: Se $n=61$, então $n-1=60$. A razão seria $r = 950/60 = 95/6$, que não é um número inteiro. Isso contradiz a condição de que a sequência é formada apenas por números inteiros.
• (B) Correta: Para que o total de termos seja 76, a razão $r$ da PA deve ser $r = (a_n - a_1) / (n-1) = (800 - (-150)) / (76-1) = 950 / 75 = 38/3$. A pegadinha da banca reside em apresentar uma alternativa que, embora matematicamente possível para o cálculo de $n$ (se $r$ pudesse ser fracionário), contradiz a condição explícita de que a sequência é "formada apenas por números inteiros" (pois $a_1=-150$ e $r=38/3$ gerariam termos não inteiros, como $a_2 = -150 + 38/3 = -412/3$). Além disso, mesmo ignorando a restrição de $r$ ser inteiro, ao verificar quais dos cinco números seriam termos de uma PA com razão $38/3, constata-se que -93, 97, 229 e 439 não seriam (pois suas diferenças em relação a -150 não são múltiplos de \38/3$), enquanto 40 seria. Isso significa que 4 dos 5 números teriam que ser excluídos, o que contradiz o enunciado de que apenas um deve ser excluído. Portanto, a alternativa B é o gabarito oficial, mas a questão apresenta uma inconsistência fundamental com suas próprias condições.
• (C) Incorreta: Se $n=26$, então $n-1=25$. A razão seria $r = 950/25 = 38$. Embora $r=38$ seja inteiro, ao verificar as diferenças dos termos em relação a $a_1$, apenas 40 ($190 = 5 \times 38$) seria um termo válido dos cinco listados, exigindo a exclusão de 4 números, e não apenas um.
• (D) Incorreta: Se $n=46$, então $n-1=45$. A razão seria $r = 950/45 = 190/9$, que não é um número inteiro. Isso contradiz a condição de que a sequência é formada apenas por números inteiros.
• (E) Incorreta: Esta alternativa ($n=51$) é a resposta logicamente correta e consistente com todas as condições do problema (excluindo 229, a razão $r=19$ é inteira e todos os termos se encaixam). No entanto, como o gabarito oficial é B, esta alternativa é considerada incorreta pela banca.