Questão de Raciocínio Lógico · FCC PGE-AM 2022 (nº 14)

A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. A mediana é o valor central em um conjunto de dados ordenado; se houver um número par de valores, é a média dos dois valores centrais. A moda é o valor que aparece com maior frequência.

Primeiro, vamos calcular a idade de José:

1. Média inicial: A média das idades de 6 primos era 25.
   • Soma das idades dos 6 primos = Média × Número de primos = $25 \times 6 = 150$ anos.
2. Média após José se juntar: Com José, o grupo tem 7 pessoas, e a nova média é 26.
   • Soma das idades das 7 pessoas = Nova Média × Novo número de pessoas = $26 \times 7 = 182$ anos.
3. Idade de José: A idade de José é a diferença entre a nova soma e a soma original.
   • Idade de José = $182 - 150 = 32$ anos.

Agora, vamos calcular a nova mediana:

1. Dados iniciais dos primos:
   • 6 primos.
   • Mediana = 24,5. Isso significa que, ao ordenar as idades ($P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$), a média dos dois valores centrais ($P_3$ e $P_4$) é 24,5.
     • $(P_3 + P_4) / 2 = 24,5 \implies P_3 + P_4 = 49$.
   • Moda = 24. Isso indica que a idade 24 aparece mais vezes. Para que 24 seja a moda e $P_3 + P_4 = 49$, a combinação mais provável e que satisfaz a ordem crescente é $P_3 = 24$ e $P_4 = 25$. (Se $P_3$ fosse menor que 24, 24 não seria necessariamente a moda. Se $P_3=24$, então 24 está presente. Para ser a moda, deve aparecer pelo menos duas vezes, então $P_2$ também poderia ser 24, por exemplo).
   • Assim, a sequência ordenada das idades dos primos tem $P_3=24$ e $P_4=25$.
2. Nova mediana com José:
   • José (32 anos) se junta ao grupo. Agora temos 7 idades.
   • A nova lista ordenada será $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, 32$ (já que 32 é maior que $P_4=25$ e provavelmente maior que $P_5$ e $P_6$).
   • Com 7 valores, a mediana é o valor central, que é o $(7+1)/2 = 4^\text{o}$ valor na lista ordenada.
   • O $4^\text{o}$ valor na lista original era $P_4$.
   • Como $P_4 = 25$, a nova mediana é 25.

Portanto, a idade de José é 32 e a nova mediana é 25.

• (A) Incorreta: A idade de José (30) e a nova mediana (24) estão incorretas.
• (B) Incorreta: A idade de José (26) está incorreta. A nova mediana (25) está correta, mas a primeira parte da resposta está errada.
• (C) Correta: A idade de José é 32 anos e a nova mediana é 25. Ambos os valores estão corretos conforme nossos cálculos.
• (D) Incorreta: A idade de José (30) e a nova mediana (26) estão incorretas.
• (E) Incorreta: A idade de José (32) está correta, mas a nova mediana (24,5) está incorreta. Armadilha da banca: Este é um distrator tentador porque 24,5 era a mediana original. O erro aqui seria não reavaliar a posição da mediana na nova lista de 7 elementos, ou assumir que adicionar um valor alto não alteraria a mediana, o que é falso. A adição de José (32 anos) desloca a mediana para o $4^\text{o}$ elemento da lista original, que é 25.