Questão de Raciocínio Lógico · FCC PGE-AM 2022 (nº 13)

Sistemas de equações são ferramentas matemáticas para resolver problemas com múltiplas variáveis, onde cada frase do enunciado se traduz em uma equação ou restrição que ajuda a encontrar os valores desconhecidos.

• (A) Incorreta: Este valor não é obtido seguindo todas as condições do problema.

• (B) Incorreta: Este é o total de moedas de Bruno, não de Carlos.

• (C) Incorreta: Este valor não é obtido seguindo todas as condições do problema.

• (D) Incorreta: Esta é a armadilha da banca. Se a condição "Ana tem menos moedas de ouro" ($A_o < B_o$) for ignorada, seria possível assumir que Bruno tem 6 moedas de ouro ($B_o=6$). Isso levaria a $B_b=8$ e $B_p=13$. Com esses valores, Carlos teria $C_o=7$, $C_p=10$ e $C_b=12$, totalizando 29 moedas. No entanto, $A_o=7$, e $7 < 6$é falso, invalidando$B_o=6$.

• (E) Correta: Para resolver, definimos as variáveis para as moedas de ouro ($o$), prata ($p$) e bronze ($b$) de Ana ($A$), Bruno ($B$) e Carlos ($C$).

  1. Carlos e Bruno: $C_o = B_o + 1$ e $C_p = B_p - 3$.
  2. Ana: $A_b = 18$ e $A_o = 7$. Além disso, $A_b > B_b$, $A_b > C_b$, $A_o < B_o$ e $A_o < C_o$.
  3. Mínimo de moedas: Cada um tem pelo menos 6 moedas de cada metal ($X_m \ge 6$).
  4. Bruno: $B_o + B_p + B_b = 27$ e $B_b = B_o + 2$.
  5. Total de bronze: $A_b + B_b + C_b = 38$.

  Substituindo $A_b=18$ na eq. (5): $18 + B_b + C_b = 38 \Rightarrow B_b + C_b = 20$.
  Substituindo $B_b = B_o + 2$ na eq. (4) de Bruno: $B_o + B_p + (B_o + 2) = 27 \Rightarrow 2B_o + B_p = 25$.
  Pela condição (3), $B_o \ge 6$, $B_p \ge 6$, $B_b \ge 6$.
  Pela condição (2), $A_o < B_o \Rightarrow 7 < B_o \Rightarrow B_o \ge 8$ (pois as moedas são inteiras).
  Se $B_o \ge 8$, então $B_b = B_o + 2 \ge 10$.
  Também pela condição (2), $A_b > B_b \Rightarrow 18 > B_b$.
  Pela condição (3), $C_b \ge 6$. Como $B_b + C_b = 20$, então $B_b = 20 - C_b \le 20 - 6 = 14$.
  Combinando as restrições para $B_b$: $10 \le B_b \le 14$.
  Vamos testar o menor valor possível para $B_o$, que é 8.
  Se $B_o = 8$:

  • $B_b = B_o + 2 = 8 + 2 = 10$. (Este valor de $B_b$ está dentro do intervalo $10 \le B_b \le 14$).
  • Substituindo $B_o=8$ em $2B_o + B_p = 25$: $2(8) + B_p = 25 \Rightarrow 16 + B_p = 25 \Rightarrow B_p = 9$.
    Verificamos as condições para Bruno: $B_o=8, B_p=9, B_b=10$. Todos $\ge 6$. $8+9+10=27. \10=8+2. \7 < 8. \18 > 10$. Todas as condições são satisfeitas.
    Agora, calculamos as moedas de Carlos:
  • $C_o = B_o + 1 = 8 + 1 = 9$.
  • $C_p = B_p - 3 = 9 - 3 = 6$.
  • $C_b = 20 - B_b = 20 - 10 = 10$.
    Verificamos as condições para Carlos: $C_o=9, C_p=6, C_b=10$. Todos $\ge 6$. $7 < 9. \18 > 10$. Todas as condições são satisfeitas. O número total de moedas de Carlos é$C_o + C_p + C_b = 9 + 6 + 10 = 25$.