Questão de Raciocínio Lógico · FCC PGE-AM 2022 (nº 20)

Para resolver problemas com múltiplas incógnitas e condições, usamos um sistema de equações do 1º grau, onde cada condição se transforma numa equação linear, e buscamos valores inteiros e não negativos para as variáveis que representam quantidades de itens.

Seja $c$ o número de questões corretas, $w$ o número de questões erradas e $b$ o número de questões em branco.
Temos as seguintes informações:

1. Total de questões: c + w + b = 20\
2. Pontuação total: $7c - 2w + 0b = 87 \implies 7c - 2w = 87$

Precisamos encontrar o valor de $b$.
Da segunda equação, podemos isolar $w$: $2w = 7c - 87 \implies w = \frac{7c - 87}{2}$.
Como $w$ deve ser um número inteiro e não negativo, $7c - 87 deve ser um número par e maior ou igual a zero. Para \7c - 87 ser par, \7c$ deve ser ímpar (pois 87 é ímpar), o que implica que $c$ deve ser um número ímpar.
Para $w \ge 0$, temos $7c - 87 \ge 0 \implies 7c \ge 87 \implies c \ge \frac{87}{7} \approx 12,42$.
Então, $c$ deve ser um número ímpar e maior ou igual a 13.

Agora, substituímos $w$ na primeira equação:
$c + \frac{7c - 87}{2} + b = 20$
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
$2c + 7c - 87 + 2b = 40 \9c - 87 + 2b = 40 \2b = 40 + 87 - 9c$
$2b = 127 - 9c$
$b = \frac{127 - 9c}{2}$

Como $b$ deve ser um número inteiro e não negativo, $127 - 9c$ deve ser um número par e maior ou igual a zero.
Para $127 - 9c ser par, \9c$ deve ser ímpar (pois 127 é ímpar), o que implica que $c$ deve ser um número ímpar. Isso confirma a condição anterior para $c$.
Para $b \ge 0$, temos $127 - 9c \ge 0 \implies 127 \ge 9c \implies c \le \frac{127}{9} \approx 14,11$.

Combinando as condições para $c$:

1. $c$ é um número ímpar.
2. $c \ge 13$.
3. $c \le 14,11$.

O único valor inteiro que satisfaz todas essas condições é $c = 13$.

Agora, calculamos $w$ e $b$ com $c=13$:
$w = \frac{7(13) - 87}{2} = \frac{91 - 87}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$b = \frac{127 - 9(13)}{2} = \frac{127 - 117}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Verificando: $c=13, w=2, b=5$.
Total de questões: $13 + 2 + 5 = 20. (Correto) Pontuação: \7(13) - 2(2) + 0(5) = 91 - 4 + 0 = 87$. (Correto)
O número de questões em branco é 5.

(A) Correta: O número de questões em branco é 5, conforme calculado ao resolver o sistema de equações com as restrições de números inteiros e não negativos.
(B) Incorreta: Se houvessem 3 questões em branco, o cálculo levaria a um número não inteiro de questões corretas ($c = 121/9$), o que é impossível.
(C) Incorreta: Se houvessem 4 questões em branco, o cálculo levaria a um número não inteiro de questões corretas ($c = 119/9$), o que é impossível.
(D) Incorreta: Se houvessem 7 questões em branco, o cálculo levaria a um número não inteiro de questões corretas ($c = 113/9$), o que é impossível.
(E) Incorreta: Se houvessem 6 questões em branco, o cálculo levaria a um número não inteiro de questões corretas ($c = 115/9$), o que é impossível. A armadilha da banca reside em não verificar se as soluções parciais (como os valores de $c$ e $w$) são números inteiros e não negativos, que são condições essenciais para o contexto do problema.