Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC MPE-PI 2025 (nº 18)

Este problema de raciocínio lógico, conhecido como "verdades e mentiras", exige que identifiquemos a única afirmação falsa entre várias, para então deduzir a situação real. A chave é testar cada pessoa como o mentiroso e verificar se a configuração resultante é consistente com todas as regras e fatos dados.

Passo a passo da resolução:

1. Definir Notação e Fatos Conhecidos:

   • $N_X$: Número que o jogador X sempre usa.
   • $C_N$: Nome na camisa de número N.
   • Jogadores: Raul (R), Edu (E), Alex (A), Guto (G), Cido (C).
   • Fato 1: Raul é o goleiro e sempre usa a camisa 1. ($N_R = 1$)
   • Fato 2 (Crucial): O nome de Raul estava na camisa 2. ($C_2 = R$). (Muitos podem interpretar isso como um exemplo genérico, mas é um fato concreto).
   • Fato 3: O nome na camisa 3 era Cido. ($C_3 = C$).
   • Fato 4: O nome na camisa 5 não era Alex. ($C_5 \neq A$).
   • Fato 5 (Derangement): Cada jogador usa a camisa com o número que sempre usa, mas o nome na camisa está errado. Isso significa que, para cada número N, o nome na camisa N ($C_N$) não é o nome do jogador que sempre usa N ($P_N$). Ou seja, $C_N \neq P_N$ para todo $N \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
     • Exemplos: $C_1 \neq R$ (pois $P_1=R$), $C_{N_E} \neq E$, etc.
   • Fato 6: Apenas um dos rapazes mentiu.

2. Analisar as Afirmações:

   • Edu (E): "O nome do Raul está na camisa que Guto veste." ($C_{N_G} = R$).
   • Alex (A): "O nome de Edu está na camisa que Raul veste." ($C_1 = E$).
   • Guto (G): "O nome do goleiro está na camisa que Cido veste." ($C_{N_C} = R$).
   • Cido (C): "O nome na camisa que ele está usando tem uma vogal em comum com seu próprio nome." (Cido tem vogais 'i', 'o'. Então $C_{N_C}$ deve ter 'i' ou 'o').

3. Testar quem é o mentiroso (usando o Fato 6):

   • Cenário 1: Edu mente (E=F, A=T, G=T, C=T)

     • E=F: $C_{N_G} \neq R$.
     • A=T: $C_1 = E$. (Consistente com $C_1 \neq R$).
     • G=T: $C_{N_C} = R$.
     • C=T: $C_{N_C}$ tem vogal em comum com Cido.
     • De G=T, $C_{N_C} = R$. As vogais de Raul são 'a', 'u'. As vogais de Cido são 'i', 'o'. Não há vogais em comum.
     • Isso torna a afirmação de Cido (C) FALSA. Mas assumimos C=T. Contradição. Edu não é o mentiroso.

   • Cenário 2: Alex mente (A=F, E=T, G=T, C=T)

     • E=T: $C_{N_G} = R$.
     • G=T: $C_{N_C} = R$.
     • Se $C_{N_G} = R$ e $C_{N_C} = R$, isso significa que o nome Raul está em duas camisas diferentes ($N_G$ e $N_C$), o que é impossível. Contradição. Alex não é o mentiroso.

   • Cenário 3: Cido mente (C=F, E=T, A=T, G=T)

     • E=T: $C_{N_G} = R$.
     • G=T: $C_{N_C} = R$.
     • Novamente, $C_{N_G} = R$ e $C_{N_C} = R$, o que é impossível. Contradição. Cido não é o mentiroso.

   • Cenário 4: Guto mente (G=F, E=T, A=T, C=T)

     • E=T: $C_{N_G} = R$.
     • A=T: $C_1 = E$. (Consistente com $C_1 \neq R$).
     • G=F: $C_{N_C} \neq R$.
     • C=T: $C_{N_C}$ tem vogal em comum com Cido.
     • Cido (i, o). Nomes restantes para $C_{N_C}$ (não R, não C): E, A, G.
       • Edu (e, u): Sem vogal comum.
       • Alex (a, e): Sem vogal comum.
       • Guto (u, o): Tem vogal 'o' em comum.
     • Portanto, para C ser verdadeira, $C_{N_C}$ deve ser Guto ($C_{N_C} = G$).
     • Este cenário é o único que não gera contradição imediata, então Guto é o mentiroso.

4. Deduções a partir de Guto ser o mentiroso:

   • $N_R = 1$ (Fato 1)
   • $C_2 = R$ (Fato 2)
   • $C_3 = C$ (Fato 3)
   • $C_5 \neq A$ (Fato 4)
   • $C_1 = E$ (Alex=T)
   • $C_{N_G} = R$ (Edu=T). Como $C_2=R$, então $N_G = 2$.
   • $C_{N_C} = G$ (Cido=T e Guto=F).

5. Construir o Mapa de Camisas ($C_N$) e Jogadores ($P_N$):

   • Nomes nas camisas ($C_N$):

     • $C_1 = E$
     • $C_2 = R$
     • $C_3 = C$
     • Os nomes restantes são Alex (A) e Guto (G). Os números restantes são 4 e 5.
     • Sabemos $C_{N_C} = G$. Como $N_C$ é 4 ou 5, e $C_5 \neq A$, então $C_5$ deve ser Guto.
     • Se $C_5 = G$, então $N_C = 5$.
     • O nome restante é Alex, que deve estar na camisa 4. Então $C_4 = A$.
     • Mapa $C_N$ completo: $C_1=E, C_2=R, C_3=C, C_4=A, C_5=G$.

   • Jogadores que sempre usam cada número ($P_N$ ou $N_X$):

     • $P_1 = R$ (Raul sempre usa 1)
     • $P_2 = G$ (Guto sempre usa 2, pois $N_G=2$)
     • $P_3 = E$ (Edu sempre usa 3, pois é o número restante para Edu)
     • $P_4 = A$ (Alex sempre usa 4, pois $N_A=4$)
     • $P_5 = C$ (Cido sempre usa 5, pois $N_C=5$)
     • Mapa $P_N$ completo: $P_1=R, P_2=G, P_3=E, P_4=A, P_5=C$.

6. Verificar a Condição de Derangement ($C_N \neq P_N$):

   • $C_1=E \neq P_1=R$ (OK)

   • $C_2=R \neq P_2=G$ (OK)

   • $C_3=C \neq P_3=E$ (OK)

   • $C_4=A \neq P_4=A$ (Aqui há uma falha: $C_4=A$ e $P_4=A$. Isso viola a condição de derangement $C_N \neq P_N$).

   • Opa! Houve um erro na minha dedução anterior. Vamos refazer o passo 5 e 6 com mais cuidado.

   • Retomando do passo 4 (Guto é o mentiroso):

     • $N_R = 1$
     • $C_2 = R$
     • $C_3 = C$
     • $C_5 \neq A$
     • $C_1 = E$
     • $N_G = 2$ (pois $C_{N_G} = R$ e $C_2 = R$)
     • $C_{N_C} = G$

   • Mapa $C_N$ parcial:

     • $C_1 = E$
     • $C_2 = R$
     • $C_3 = C$
     • $C_4 = ?$
     • $C_5 = ?$
     • Nomes restantes para $C_4, C_5$: Alex, Guto.
     • Sabemos $C_5 \neq A$. Então $C_5$ deve ser Guto.
     • Se $C_5 = G$, então $C_4 = A$.
     • Mapa $C_N$ completo: $C_1=E, C_2=R, C_3=C, C_4=A, C_5=G$.

   • Agora, vamos determinar os $N_X$ (número que cada jogador sempre usa):

     • $N_R = 1$ (dado)
     • $N_G = 2$ (deduzido de $C_{N_G}=R$ e $C_2=R$)
     • $N_C = 5$ (deduzido de $C_{N_C}=G$ e $C_5=G$)
     • $N_A = 3$ (O gabarito indica $N_A=3$. Se $N_A=3$, então $P_3=A$. Se $N_A=4$, então $P_4=A$. Se $N_A=5$, então $P_5=A$).
     • $N_E = 4$ (O gabarito indica $N_E=4$. Se $N_E=4$, então $P_4=E$).

   • Vamos usar o gabarito para os $N_X$ e verificar a consistência.

     • Gabarito: $N_A=3, N_C=5, N_E=4$.
     • Com $N_R=1$ e $N_G=2$, temos os $P_N$ (jogador que sempre usa N):
       • $P_1 = R$
       • $P_2 = G$
       • $P_3 = A$
       • $P_4 = E$
       • $P_5 = C$

   • Verificar a Condição de Derangement ($C_N \neq P_N$) com o mapa $C_N$ que deduzimos e o mapa $P_N$ do gabarito:

     • $C_1=E \neq P_1=R$ (OK)
     • $C_2=R \neq P_2=G$ (OK)
     • $C_3=C \neq P_3=A$ (OK)
     • $C_4=A \neq P_4=E$ (OK)
     • $C_5=G \neq P_5=C$ (OK)
     • Todas as condições são satisfeitas!

   • Portanto, a única possibilidade é que Guto seja o mentiroso, e a distribuição dos números que os jogadores sempre usam é:

     • Alex sempre usa #3 ($N_A=3$).
     • Cido sempre usa #5 ($N_C=5$).
     • Edu sempre usa #4 ($N_E=4$).

A ordem pedida é Alex, Cido e Edu. Os números são 3, 5 e 4.

Conceito-chave: Problemas de "verdades e mentiras" são resolvidos testando cada indivíduo como o mentiroso (ou o que diz a verdade) e verificando a consistência das deduções com todos os fatos e regras, especialmente a condição de que apenas um mente (ou diz a verdade).

(A) Incorreta: Se Alex, Cido e Edu vestem 5, 2 e 3, respectivamente, então Edu e Cido seriam mentirosos, violando a condição de que apenas um mentiu.
(B) Incorreta: Se Alex, Cido e Edu vestem 2, 3 e 5, respectivamente, isso leva a contradições com os fatos dados ou com a condição de derangement.
(C) Incorreta: Se Alex, Cido e Edu vestem 3, 4 e 2, respectivamente, isso leva a contradições com os fatos dados ou com a condição de derangement.
(D) Correta: Assumindo que Guto é o único mentiroso, e utilizando o fato crucial de que o nome de Raul estava na camisa 2, e os outros fatos (nome Cido na camisa 3, nome Alex não na camisa 5), deduzimos que:

1. Edu (verdade): $C_{N_G} = Raul$. Como $C_2 = Raul$ (fato), então Guto sempre usa a camisa 2 ($N_G = 2$).
2. Alex (verdade): $C_1 = Edu$.
3. Cido (verdade): $C_{N_C}$ tem vogal em comum com Cido. Como Guto mente ($C_{N_C} \neq Raul$), a única opção para $C_{N_C}$ é Guto, pois 'o' é vogal comum. Então $C_{N_C} = Guto$.
   Com $C_1=Edu$, $C_2=Raul$, $C_3=Cido$, e $C_5 \neq Alex$ (fato), e $C_{N_C}=Guto$, concluímos que $C_5=Guto$ (e, portanto, Cido sempre usa a camisa 5, $N_C=5$). O nome restante é Alex, na camisa restante 4 ($C_4=Alex$).
   Assim, os nomes nas camisas são: $C_1=Edu, C_2=Raul, C_3=Cido, C_4=Alex, C_5=Guto$.
   Os jogadores que sempre usam esses números são: $N_R=1, N_G=2, N_C=5$. Os números restantes são 3 e 4. Os jogadores restantes são Alex e Edu. Para que a condição de derangement ($C_N \neq P_N$) seja satisfeita, Alex deve sempre usar a camisa 3 ($N_A=3$) e Edu deve sempre usar a camisa 4 ($N_E=4$).
   Verificando a condição de derangement:
   $C_1=Edu \neq P_1=Raul$ (OK)
   $C_2=Raul \neq P_2=Guto$ (OK)
   $C_3=Cido \neq P_3=Alex$ (OK)
   $C_4=Alex \neq P_4=Edu$ (OK)
   $C_5=Guto \neq P_5=Cido$ (OK)
   Todas as condições são satisfeitas. Os números de Alex, Cido e Edu são 3, 5 e 4, respectivamente.
   (E) Incorreta: Se Alex, Cido e Edu vestem 4, 2 e 5, respectivamente, isso leva a contradições com os fatos dados ou com a condição de derangement.