Questão de Raciocínio Lógico · FCC CMFOR 2019 (nº 28)

O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma técnica fundamental para contar elementos em conjuntos que se sobrepõem (têm coisas em comum), garantindo que cada elemento seja contado uma única vez no total. Para três conjuntos, a ideia é somar os elementos de cada conjunto, subtrair as sobreposições de dois em dois (para não contar duas vezes), e depois adicionar de volta a sobreposição de três (porque foi subtraída demais).

Vamos usar as seguintes notações:

• $U$: Total de alunos = 72
• $F$: Alunos que treinam Futebol = 33
• $A$: Alunos que treinam Atletismo = 34
• $N$: Alunos que treinam Natação = 26
• $F \cap A \cap N$: Alunos que treinam as três modalidades = 4

A questão pede o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades.

A fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para a união de três conjuntos é:
$|F \cup A \cup N| = |F| + |A| + |N| - (|F \cap A| + |F \cap N| + |A \cap N|) + |F \cap A \cap N|$

Sabemos que todos os 72 alunos participam de pelo menos uma modalidade, então $|F \cup A \cup N| = 72$.
Vamos chamar a soma das interseções de dois a dois de $S_2 = (|F \cap A| + |F \cap N| + |A \cap N|)$.
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
$72 = 33 + 34 + 26 - S_2 + 4$
$72 = 93 - S_2 + 4$
$72 = 97 - S_2$
$S_2 = 97 - 72$
$S_2 = 25$

Este valor $S_2 = 25$ representa a soma das interseções de dois a dois. Importante: Cada aluno que treina as três modalidades é contado 3 vezes nesta soma $S_2$. Para encontrar o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades, precisamos subtrair as contagens extras dos alunos que treinam as três.

Seja $X_{exatamente\_2}$ o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades.
A relação entre $S_2$ e $X_{exatamente\_2}$ é:
$S_2 = X_{exatamente\_2} + 3 \times (|F \cap A \cap N|)$
$25 = X_{exatamente\_2} + 3 \times 4$
$25 = X_{exatamente\_2} + 12$
$X_{exatamente\_2} = 25 - 12$
$X_{exatamente\_2} = 13$

Portanto, 13 alunos treinam exatamente duas modalidades.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(D) Incorreta: Esta é a armadilha mais comum. Se o aluno calcular $S_2 = 25$ e subtrair o número de alunos que treinam as três modalidades apenas uma vez ($25 - 4 = 21$), ele comete o erro de não considerar que os alunos das três modalidades foram contados três vezes em$S_2$.
(E) Correta: O cálculo usando o Princípio da Inclusão-Exclusão e ajustando corretamente a sobreposição das três modalidades resulta em 13.