Questão de Raciocínio Lógico · FCC CMFOR 2019 (nº 23)

Em uma sequência numérica onde cada termo, a partir do terceiro ($a_n$ para $n > 2$), é a soma de todos os termos anteriores ($a_n = a_{n-1} + \cdots + a_1$), podemos encontrar uma relação mais simples. Se $a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}$ e $a_{n-1} = a_1 + \cdots + a_{n-2}$, então subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos $a_n - a_{n-1} = a_{n-1}$, o que simplifica para $a_n = 2a_{n-1}$. Essa relação de duplicação vale para $n \ge 4$, pois $a_3$ é o primeiro termo definido como soma ($a_3 = a_1 + a_2$), e $a_4$ é o primeiro termo onde a relação $a_n = 2a_{n-1}$ se aplica ($a_4 = a_1+a_2+a_3 = (a_1+a_2)+a_3 = a_3+a_3 = 2a_3$).

A sequência se desenvolve assim:
$a_1 = 1$
$a_2 = k$
$a_3 = a_1 + a_2 = 1 + k$
$a_4 = 2a_3 = 2(1+k)$
$a_5 = 2a_4 = 2^2(1+k)$
...
Para $n \ge 3$, o termo geral é $a_n = 2^{n-3}(1+k)$.

Dado que o 13º termo ($a_{13}$) é 6144:
$a_{13} = 2^{13-3}(1+k) = 2^{10}(1+k)$
$2^{10}(1+k) = 6144$
Sabemos que $2^{10} = 1024$.
$1024(1+k) = 6144$$1+k = \frac{6144}{1024} \1+k = 6$$k = 6 - 1$$k = 5$

(A) Incorreta: Se $k=8$, $a_3 = 1+8=9$. Então $a_{13} = 2^{10} \times 9 = 1024 \times 9 = 9216 \ne 6144$.
(B) Incorreta: Se $k=6$, $a_3 = 1+6=7$. Então $a_{13} = 2^{10} \times 7 = 1024 \times 7 = 7168 \ne 6144$.
(C) Incorreta: Se $k=3$, $a_3 = 1+3=4$. Então $a_{13} = 2^{10} \times 4 = 1024 \times 4 = 4096 \ne 6144$. Esta é uma armadilha comum, pois $4096$é$2^{12}$, o que poderia levar a um erro de índice na fórmula da potência de 2. **(D) Incorreta:** Se$k=4$,$a_3 = 1+4=5$. Então$a_{13} = 2^{10} \times 5 = 1024 \times 5 = 5120 \ne 6144$. **(E) Correta:** Se$k=5$,$a_3 = 1+5=6$. Usando a fórmula$a_n = 2^{n-3}(1+k)$, temos$a_{13} = 2^{13-3}(1+5) = 2^{10}(6) = 1024 \times 6 = 6144$. O valor de$k=5$ satisfaz a condição dada.