Questão de Raciocínio Lógico · FCC ALAP 2019 (nº 12)

O Princípio da Casa dos Pombos (PCP) afirma que se você tem mais "pombos" (itens) do que "casas" (categorias ou possibilidades), então pelo menos uma casa deve conter mais de um pombo. Para resolver este problema, identificamos o "pior cenário" possível, ou seja, o maior número de pessoas que podemos sortear sem que a condição desejada (ter pelo menos dois vizinhos) seja satisfeita.

Para garantir que haja pelo menos duas pessoas vizinhas entre as sorteadas, precisamos primeiro determinar o número máximo de pessoas que podem ser sorteadas sem que haja vizinhos.
Imagine as pessoas na fila como $P_1, P_2, P_3, \dots, P_{51}$.
Para evitar vizinhos, podemos escolher uma pessoa e pular a próxima. Por exemplo:
Escolhemos $P_1$, pulamos $P_2$.
Escolhemos $P_3$, pulamos $P_4$.
...
Escolhemos $P_{49}$, pulamos $P_{50}$.
E, por fim, escolhemos $P_{51}$ (que não tem vizinho $P_{52}$ para ser pulado).

As pessoas escolhidas seriam: $P_1, P_3, P_5, \dots, P_{49}, P_{51}$.
Para contar quantas pessoas são:
De $P_1$ a $P_{49}$ (apenas os números ímpares): $(49 - 1)/2 + 1 = 24 + 1 = 25$ pessoas.
Adicionando $P_{51}$: $25 + 1 = 26$pessoas. Assim, é possível sortear 26 pessoas (por exemplo,$P_1, P_3, \dots, P_{49}, P_{51}$) sem que nenhuma delas seja vizinha. Este é o "pior cenário" para a condição desejada.

De acordo com o Princípio da Casa dos Pombos, para garantir que a condição seja satisfeita, precisamos sortear uma pessoa a mais do que o número máximo que não satisfaz a condição.
Portanto, $26 + 1 = 27$ pessoas.

• (A) Incorreta: 26 é o número máximo de pessoas que podem ser sorteadas sem que haja vizinhos. Se sorteamos 26, não há garantia de vizinhos.
• (B) Incorreta: 28 é um número suficiente, mas não é o menor número que garante a condição.
• (C) Incorreta: 25 é um número menor que o máximo que não garante a condição. É possível sortear 25 pessoas sem vizinhos (ex: $P_1, P_3, \dots, P_{49}$).
• (D) Correta: 27 é o menor número de pessoas que, ao serem sorteadas, garante que pelo menos duas delas são vizinhas na fila. Isso ocorre porque 26 pessoas podem ser sorteadas sem vizinhos (o pior caso), então a 27ª pessoa obrigatoriamente formará um par de vizinhos com uma das já sorteadas.
• (E) Incorreta: 24 é um número menor que o máximo que não garante a condição. É possível sortear 24 pessoas sem vizinhos.