Questão de Estatística · FCC ALAP 2019 (nº 45)

O intervalo de confiança é uma faixa de valores onde esperamos encontrar a verdadeira média da população, com um certo grau de certeza. A amplitude desse intervalo é o quão "largo" ele é, e para torná-lo mais preciso (menor amplitude), precisamos de uma amostra maior.

• Amplitude inicial: $A_1 = 27 - 23 = 4$.
• A fórmula da amplitude de um intervalo de confiança para a média, com variância conhecida, é $A = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico (constante para 95% de confiança), $\sigma$ é o desvio padrão da população (constante) e $n$ é o tamanho da amostra.
• Para a situação inicial: $4 = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{64}} \implies 4 = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{8} \implies 4 = \frac{Z_{\alpha/2} \sigma}{4} \implies Z_{\alpha/2} \sigma = 16$.
• Amplitude desejada: $A_2 = A_1 / 2 = 4 / 2 = 2$.
• Para a nova situação: $2 = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}$.
• Substituindo $Z_{\alpha/2} \sigma = 16$: $2 = 2 \cdot \frac{16}{\sqrt{n_2}} \implies 1 = \frac{16}{\sqrt{n_2}} \implies \sqrt{n_2} = 16 \implies n_2 = 16^2 = 256$.
• Conceito-chave para fixar: Para reduzir a amplitude do intervalo de confiança pela metade, o tamanho da amostra deve ser multiplicado por 4, pois a amplitude é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra ($A \propto 1/\sqrt{n}$). Se $A_2 = A_1/2$, então $1/\sqrt{n_2} = (1/2) \cdot (1/\sqrt{n_1})$, o que implica $\sqrt{n_2} = 2\sqrt{n_1}$, e $n_2 = 4n_1$.

(A) Incorreta: O cálculo mostra que o novo tamanho da amostra deve ser 256, não 400.
(B) Incorreta: O cálculo mostra que o novo tamanho da amostra deve ser 256, não 1.024.
(C) Incorreta: O cálculo mostra que o novo tamanho da amostra deve ser 256, não 512.
(D) Correta: Para reduzir a amplitude pela metade, o tamanho da amostra deve ser multiplicado por 4. Assim, $n_2 = 4 \times n_1 = 4 \times 64 = 256$.
(E) Incorreta: Esta é a armadilha da banca. Multiplicar o tamanho da amostra por 2 (resultando em 128) não reduz a amplitude pela metade. Isso só reduziria a amplitude por um fator de $1/\sqrt{2}$ (aproximadamente 0,707), não 0,5. A amplitude é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra, não diretamente ao tamanho da amostra.