Questão nº 172
Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 172)
Sejam , e as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo como medida da hipotenusa. Esses valores , e são, respectivamente, os diâmetros dos círculos , e , como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área () = área () + área ().
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo , o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
- A
- B
- C (alternativa correta)
- D
- E
Resposta comentada
Gabarito Alternativa C
A ideia-chave é o Teorema de Pitágoras generalizado para áreas: em um triângulo, se você constrói figuras semelhantes sobre os três lados, a área sobre o maior lado é igual à soma das áreas sobre os outros dois somente quando o ângulo oposto ao maior lado é 90°. Se esse ângulo for maior que 90° (obtuso), o lado oposto fica maior e a área correspondente supera a soma das outras duas.
- (A) Incorreta: Com o triângulo é acutângulo; o lado oposto a é menor que o necessário, e a área da pizza do professor seria menor que a soma das outras duas.
- (B) Incorreta: Com vale exatamente o Teorema de Pitágoras; a área seria igual à soma das outras duas, não maior.
- (C) Correta: Com , o ângulo é obtuso; pelo teorema de Pitágoras generalizado (lei dos cossenos), o lado oposto a é maior que a hipotenusa de um triângulo retângulo equivalente, então a área do círculo sobre ele é maior que a soma das áreas dos outros dois.
- (D) Incorreta: Com não existe triângulo (os lados ficariam colineares); a construção da figura deixa de fazer sentido.
- (E) Incorreta: Com também não há triângulo válido, pois a soma dos ângulos internos seria impossível.
Armadilha do distrator mais tentador (B): o aluno vê a figura inicial com o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras escrito, e automaticamente associa "área do maior = soma das outras" ao caso . Mas a questão diz explicitamente que a área é maior, então o ângulo precisa ser obtuso, não reto. A banca explora exatamente essa associação automática entre Pitágoras e igualdade de áreas.
Fonte: INEP ENEM 2023 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.