Questão nº 160

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 160)

INEP2023Matemática

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, %, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_1$ , $p_2$ e $p_3$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Atipo I, pois $p_1 < p_2 < p_3$ . (alternativa correta)
Btipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
Ctipo II, pois tem maior quantidade de letras.
Dtipo III, pois $p_3 < p_2 < p_1$ .
Etipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

Probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Aqui, cada senha é 1 caso favorável, então quanto MAIOR o total de senhas possíveis, MENOR a probabilidade de acertar de primeira. O erro clássico é achar que "mais caracteres" ou "mais letras" garante menor probabilidade — o que importa é o total de combinações possíveis, calculado com as restrições de cada tipo.

Total de caracteres disponíveis: $10 + 26 + 26 + 6 = 68$.

Tipo I: $68 \times 67 \times 66 \times 65$
Tipo II: $52 \times 51 \times 50 \times 10 \times 6$
Tipo III: $52 \times 51 \times 10 \times 9 \times 6 \times 5$

Comparando: o tipo I começa com 68 (maior base) e usa 4 fatores grandes, gerando o maior total de senhas possíveis — logo, a menor probabilidade $p_1$ . O tipo II tem 5 fatores, mas começa com 52 e inclui 10 e 6 (pequenos). O tipo III tem 6 fatores, porém os algarismos e especiais são poucos (10 e 6), o que reduz bastante o produto. Resultado: $p_1 < p_2 < p_3$ .

(A) Correta: É o gabarito: o tipo I tem o maior número de senhas possíveis (68 × 67 × 66 × 65), então a menor probabilidade de acerto ao acaso, com $p_1 < p_2 < p_3$ .
(B) Incorreta: Ter "menos caracteres" não é o motivo — o que importa é o total de combinações; a justificativa está errada, mesmo que a letra aponte o tipo I.
(C) Incorreta: Ter "mais letras" não garante menor probabilidade; o tipo II tem menos combinações totais que o tipo I.
(D) Incorreta: Inverte a desigualdade: o correto é $p_1 < p_2 < p_3$ , não $p_3 < p_2 < p_1$ .
(E) Incorreta: É a pegadinha da banca: "mais caracteres" sugere senha mais difícil, mas o tipo III usa poucos algarismos (10) e poucos especiais (6), gerando menos combinações que o tipo I.

Fonte: INEP ENEM 2023 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 160)

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