Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 161)

Conceito-chave: Em juros compostos, cada parcela paga em data futura vale menos hoje: para "trazer" uma parcela para o valor presente, dividimos por $(1+i)^n$, onde $i$ é a taxa mensal e $n$ é o número de meses até o pagamento. O financiamento é justo quando o valor presente das parcelas iguala o preço à vista.

O produto à vista custa R$ 1.500,00. Com o aumento de 20%, o valor financiado vira $1{,}20 \times 1500 = 1800$, dividido em 3 parcelas iguais de R$ 600,00. A primeira é paga no ato (não sofre juros), a segunda em 30 dias e a terceira em 60 dias. Igualando o valor presente ao preço à vista:

$1500 = 600 + \frac{600}{1+i} + \frac{600}{(1+i)^2}$

Dividindo por 600: $2{,}5 = 1 + \frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2}$. Chamando $x = 1+i$, chega-se a $1{,}5x^2 - x - 1 = 0$, cuja raiz positiva é $x = \frac{1+\sqrt{7}}{3}$. Como $\sqrt{28} \approx 5{,}29$, então $\sqrt{7} \approx 2{,}645$, logo $x \approx 1{,}215$, ou seja, $i \approx 21{,}5\%$.

• (A) Incorreta: 6,7% é uma taxa pequena demais; com ela o valor presente das parcelas ficaria bem acima de R$ 1.500,00, não fechando a igualdade.
• (B) Incorreta: 10% é a "taxa aparente" enganosa: $1800/1500 = 1{,}20$ sugere 20% no total, e quem divide por 3 meses acha 10% ao mês — mas isso ignora que a 1ª parcela é paga no ato e que os juros são compostos.
• (C) Incorreta: 20% é só o aumento embutido no preço à vista, não a taxa mensal de juros do financiamento; confundir os dois é o erro clássico.
• (D) Correta: É o gabarito: resolvendo $1500 = 600 + \frac{600}{1+i} + \frac{600}{(1+i)^2}$ obtém-se $i \approx 0{,}215 = 21{,}5\%$ ao mês, usando $\sqrt{28} \approx 5{,}29$.
• (E) Incorreta: 23,3% não satisfaz a equação do valor presente; é só um valor próximo para atrair quem erra a conta por pouco.