O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura. Os cabos de aço formam um ângulo alpha com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação: • opção I: h = 11 m e alpha = 30° • opção II: h = 12 m e alpha = 45° • opção III: h = 18 m e alpha = 60° A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

Questão nº 148

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 148)

INEP2023Matemática

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto $P$ do mastro, a uma altura $h$ do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Figura da questão de Matemática

Os cabos de aço formam um ângulo $\alpha$ com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: $h$ = 11 m e $\alpha$ = 30°
• opção II: $h$ = 12 m e $\alpha$ = 45°
• opção III: $h$ = 18 m e $\alpha$ = 60°

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

A $\frac{22\sqrt{3}}{3}$
B $11\sqrt{2}$
C $12\sqrt{2}$ (alternativa correta)
D $12\sqrt{3}$
E$22$

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

No triângulo retângulo, o cabo é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto), o mastro é o cateto oposto ao ângulo $\alpha$ e o chão é o cateto adjacente. Como temos o cateto oposto $h$ e queremos a hipotenusa $c$ , usamos $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{h}{c}$ , ou seja, $c = \dfrac{h}{\text{sen}\,\alpha}$ . Basta calcular nas três opções e escolher o menor valor.

(A) Incorreta: $\frac{22\sqrt{3}}{3} \approx 12{,}7$ m; não corresponde a nenhuma das três opções (é só um valor "solto" para confundir quem erra a conta da opção I).
(B) Incorreta: $11\sqrt{2} \approx 15{,}6$ m; esse seria o cabo da opção I se o aluno usasse $\cos 30°$ em vez de $\text{sen}\,30°$ — armadilha clássica de trocar seno por cosseno.
(C) Correta: calculando: opção I → $c = \dfrac{11}{\text{sen}\,30°} = \dfrac{11}{0{,}5} = 22$ m; opção II → $c = \dfrac{12}{\text{sen}\,45°} = \dfrac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2} \approx 17$ m; opção III → $c = \dfrac{18}{\text{sen}\,60°} = \dfrac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}8$ m. O menor cabo é $12\sqrt{2}$ m, da opção II.
(D) Incorreta: $12\sqrt{3}$ m é o cabo da opção III ( $h = 18$ , $\alpha = 60°$ ), que dá $\approx 20{,}8$ m — maior que o da opção II, então não é a escolha.
(E) Incorreta: $22 $m é o cabo da **opção I** ($ h = 11 $,$ \alpha = 30°$), o maior dos três; é o distrator mais tentador, pois muitos alunos param na primeira conta e marcam sem comparar as três opções.

Fonte: INEP ENEM 2023 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 148)

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