O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais. Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

A) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

B) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

Questão nº 146

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 146)

INEP2023Matemática

Gabarito: Ever comentário ↓

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Figura da questão de Matemática

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

AHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
BHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
CHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
DHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
EHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11. (alternativa correta)

Resposta comentada

Gabarito Alternativa E

O triângulo mágico exige que os números de 1 a 6 sejam distribuídos sem repetição, com somas iguais nos três lados. Como os vértices estão em progressão aritmética (PA) de razão 2, eles só podem ser $a$ , $a+2$ e $a+4$ — e como usamos números de 1 a 6, os vértices possíveis são $\{1,3,5\}$ ou $\{2,4,6\}$ . Testando as duas possibilidades, chega-se às somas 10 e 11.

(A) Incorreta: Soma 7 é impossível com vértices em PA de razão 2; nem $\{1,3,5\}$ nem $\{2,4,6\}$ geram lados somando 7.
(B) Incorreta: Soma 9 também não aparece em nenhuma distribuição válida com vértices em PA de razão 2.
(C) Incorreta: As somas 7 e 9 não surgem; a banca troca os valores corretos (10 e 11) por esses, que são apenas "vizinhos" plausíveis.
(D) Incorreta: Soma 12 não é atingida; é o distrator mais tentador porque 12 parece "grande o bastante", mas nenhuma configuração válida produz esse valor.
(E) Correta: Com vértices $\{1,3,5\}$ obtém-se soma 10 nos lados; com vértices $\{2,4,6\}$ obtém-se soma 11 — exatamente as duas únicas soluções possíveis, conforme o gabarito.

Fonte: INEP ENEM 2023 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 146)

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