Questão nº 138

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 138)

INEP2023Matemática

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

A20
B60
C64 (alternativa correta)
D68
E80

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

Conceito-chave: probabilidade de eventos independentes é o produto das probabilidades: $P(\text{preta em A e preta em B}) = P_A \times P_B$ . Aqui $P_A = 20\% = 0{,}2$ e $P_B = \dfrac{4}{4 + b}$ , onde $b$ é o número de bolinhas brancas na urna B.

Queremos $0{,}2 \times \dfrac{4}{4+b} \le 0{,}01 \Rightarrow \dfrac{0{,}8}{4+b} \le 0{,}01 \Rightarrow 4+b \ge 80 \Rightarrow b \ge 76$ . Como a urna B já tem 4 pretas e originalmente tinha 16 brancas (pois $P_B=25\% \Rightarrow \frac{4}{4+b}=0{,}25 \Rightarrow b=12$ ... atenção: originalmente $b=12$ ), o mínimo a adicionar é $76 - 12 = 64$.

(A) Incorreta: 20 é o total de brancas que faltaria se o aluno esquecesse de descontar as 12 já existentes e ainda errasse a conta; não atinge $b \ge 76$ .
(B) Incorreta: 60 levaria a $b=72$ , dando $P = \frac{0{,}8}{76} \approx 1{,}05\%$ , ainda acima de 1%.
(C) Correta: com $b = 12 + 64 = 76$ brancas, $P_B = \frac{4}{80} = 5\%$ e $P = 0{,}2 \times 0{,}05 = 1\%$ , exatamente o limite pedido — é o menor valor possível.
(D) Incorreta: 68 daria $b=80$ , $P = 0{,}2 \times \frac{4}{84} \approx 0{,}95\%$ , funciona, mas não é o mínimo.
(E) Incorreta: 80 daria $b=92$ , também abaixo de 1%, porém maior que o necessário.

Distrator mais tentador — (B) 60: a armadilha é o aluno montar $\frac{0{,}8}{4+b} \le 0{,}01$ e concluir $b \ge 76$ , marcando 76 direto ou arredondando errado para 60 por achar que "já tem brancas suficientes". O correto é subtrair as 12 brancas originais: o enunciado pergunta quantas adicionar, não o total final.

Fonte: INEP ENEM 2023 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Matemática · INEP ENEM 2023 (nº 138)

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