Questão de Matemática · CESGRANRIO BASA 01/2018 (nº 10)

Conceito-chave: Resolver um sistema de inequações significa encontrar os valores de $x$ que satisfazem todas as condições ao mesmo tempo. Aqui, a Inequação 2 define um conjunto de valores possíveis; a questão quer saber qual condição extra (dentre as alternativas) é equivalente a dizer que, dentro desse conjunto, o valor também satisfaz a Inequação 1.

• (A) Incorreta: $-x < -4$ é o mesmo que $x > 4$. Mas a Inequação 2 dá $x > 2$, e a Inequação 1 tem solução $2 < x < 4$(verifique:$x^2 -6x +8 < 0 \Rightarrow (x-2)(x-4)<0$). Dentro de$x>2, a solução da Inequação 1 é \2 < x < 4$, que não é equivalente a$x>4$(pois$x=3 serviria, mas \3>4$é falso). **Armadilha:** inverter o sinal da desigualdade sem trocar o sentido corretamente, levando a achar que$x>4$é o mesmo que$x<4$.
• (B) Correta: A Inequação 2: $x+6 > -x+10 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$. A Inequação 1: $5x - 7 > x^2 - x + 1 \Rightarrow 0 > x^2 -6x +8 \Rightarrow (x-2)(x-4) < 0$, cuja solução é $2 < x < 4$. Interseção com$x>2 dá \2 < x < 4$. A alternativa B,$4x - 16 < 0 \Rightarrow x < 4$, combinada com a Inequação 2 ($x>2), resulta exatamente em \2 < x < 4$. Portanto, é a condição necessária e suficiente.
• (C) Incorreta: $x^2 - 16 > 0 \Rightarrow x < -4$ ou $x > 4$. Isso exclui todos os valores entre 2 e 4, que são justamente os que satisfazem a Inequação 1. Logo, não é equivalente.
• (D) Incorreta: $x+1 > x+9 \Rightarrow 1 > 9$, que é uma sentença falsa para todo $x$ real. Não há solução, então não pode ser condição para nada.
• (E) Incorreta: $\frac{1}{x} < \frac{1}{4}$ exige cuidado com o sinal de $x$. Como a Inequação 2 força $x>2$ (positivo), podemos multiplicar por $4x$ sem inverter: $4 < x \Rightarrow x > 4$. Isso também exclui o intervalo $2 < x < 4$, então não é equivalente. **Armadilha clássica:** esquecer de analisar o sinal de$x$ ao inverter frações, levando a erro de sinal.