Questão de Raciocínio Lógico · FGV TRF1 2024 (nº 17)

Quando um número $A$ é divisível por outro número $B$, significa que a divisão de $A$ por $B$ resulta em um número inteiro (sem resto). Isso pode ser expresso como $A \equiv 0 \pmod B$, que se lê "A é congruente a 0 módulo B", indicando que o resto da divisão de $A$ por $B$ é zero.

Resolução:
Temos as seguintes condições:

1. $N = \frac{3x-18}{4}$ é um número inteiro.
2. $N > 0$.
3. $x$ é um número inteiro.
4. $x > 0$.

Primeiro, para que $N$ seja um número inteiro, o numerador $(3x-18)$ deve ser divisível por 4. Podemos escrever isso como uma congruência modular:
$3x - 18 \equiv 0 \pmod 4$

Para simplificar, notamos que $-18 \equiv 2 \pmod 4$ (pois $-18 = -5 \times 4 + 2$).
Então, a congruência se torna:
$3x + 2 \equiv 0 \pmod 4$
$3x \equiv -2 \pmod 4$
$3x \equiv 2 \pmod 4$

Para encontrar $x$, multiplicamos ambos os lados por 3 (o inverso multiplicativo de 3 módulo 4, pois $3 \times 3 = 9 \equiv 1 \pmod 4$):
$3 \times (3x) \equiv 3 \times 2 \pmod 4$
$9x \equiv 6 \pmod 4$
Como $9 \equiv 1 \pmod 4$ e $6 \equiv 2 \pmod 4$:
$x \equiv 2 \pmod 4$

Isso significa que $x$ deve ser um número inteiro que deixa resto 2 quando dividido por 4. Os possíveis valores para $x$ são da forma $4k+2$, onde$k$ é um número inteiro (ex: ..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...).

Agora, vamos aplicar a condição $N > 0$:
$\frac{3x-18}{4} > 0$
Como o denominador 4 é positivo, o numerador também deve ser positivo:
$3x - 18 > 0 \3x > 18$$x > 6$

Finalmente, precisamos encontrar o menor valor inteiro de $x$ que satisfaz $x \equiv 2 \pmod 4$ E $x > 6$.
Listando os valores de $x$ que satisfazem $x \equiv 2 \pmod 4$:

• Para $k=0$, $x = 4(0) + 2 = 2$. (Não satisfaz $x > 6$)
• Para $k=1$, $x = 4(1) + 2 = 6$. (Não satisfaz $x > 6$)
• Para $k=2$, $x = 4(2) + 2 = 10$. (Satisfaz $x > 6$)

O menor valor possível para $x$ que atende a todas as condições é $x=10$.
A questão pede a soma dos algarismos do menor valor possível para $x$.
Para $x=10$, a soma dos algarismos é $1 + 0 = 1$.

(A) Correta: O menor valor possível para $x$ é 10, e a soma de seus algarismos ($1+0$) é 1. **(B) Incorreta:** Se o aluno ignorasse a condição$N > 0$e apenas considerasse$N$como um inteiro, o menor$x$inteiro positivo que satisfaz$x \equiv 2 \pmod 4$seria$x=2$. A soma dos algarismos de 2 é 2. No entanto, para$x=2$,$N = \frac{3(2)-18}{4} = \frac{-12}{4} = -3$, o que não é maior que 0. Esta é a armadilha mais tentadora.
(C) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo.
(D) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo.
(E) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo.