Questão de Raciocínio Lógico · FGV TRF1 2024 (nº 25)

A área de um polígono no plano cartesiano pode ser calculada de diversas formas, sendo as mais comuns a Fórmula do Cadarço (Shoelace Formula) ou a decomposição do polígono em figuras mais simples, como triângulos e trapézios.

A) Incorreta: Um erro de cálculo ao aplicar as fórmulas de área ou na soma/subtração dos componentes.
B) Incorreta: Um erro de cálculo ao aplicar as fórmulas de área ou na soma/subtração dos componentes.
C) Incorreta: Um erro de cálculo ao aplicar as fórmulas de área ou na soma/subtração dos componentes.
D) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Ao usar o método de subtrair áreas de triângulos de um retângulo delimitador, um erro frequente é usar a coordenada y (8) como altura de um triângulo, em vez da diferença de altura (8-1=7). Por exemplo, considerando o retângulo de vértices (0,1), (9,1), (9,8), (0,8) com área 63, e subtraindo os triângulos "externos": o triângulo com vértices (0,8), B(4,8) e A(0,1) tem base 4 e altura 7 (8-1), resultando em área 14. Se a altura fosse erroneamente considerada 8, a área seria 16. O outro triângulo, com vértices B(4,8), (9,8) e C(9,6), tem base 5 e altura 2 (8-6), resultando em área 5. Se o primeiro triângulo fosse 16, a área total seria $63 - 16 - 5 = 42$. **E) Correta:** A área do quadrilátero ABCD pode ser calculada usando a **Fórmula do Cadarço** (Shoelace Formula) com os vértices em ordem: A(0, 1), B(4, 8), C(9, 6), D(9, 1).$A = \frac{1}{2} |(x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A) - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A)|$$A = \frac{1}{2} |(0 \cdot 8 + 4 \cdot 6 + 9 \cdot 1 + 9 \cdot 1) - (1 \cdot 4 + 8 \cdot 9 + 6 \cdot 9 + 1 \cdot 0)|$$A = \frac{1}{2} |(0 + 24 + 9 + 9) - (4 + 72 + 54 + 0)|$$A = \frac{1}{2} |(42) - (130)|$$A = \frac{1}{2} |-88|$$A = \frac{1}{2} \cdot 88 = 44$.

Outra forma é decompor o quadrilátero em dois triângulos, por exemplo, $\triangle ADC$ e $\triangle ABC$.

1. Área do $\triangle ADC$: Vértices A(0,1), D(9,1), C(9,6). A base AD é horizontal (sobre $y=1$) e tem comprimento $9-0=9$. A altura é a distância vertical de C(9,6) à linha$y=1, que é \6-1=5$. Área($\triangle ADC$) =$\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 9 \times 5 = 22,5$.
2. Área do $\triangle ABC$: Vértices A(0,1), B(4,8), C(9,6). Usando a fórmula da área do triângulo por coordenadas:
   Área($\triangle ABC$) = $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$
   Área($\triangle ABC$) = $\frac{1}{2} |0(8-6) + 4(6-1) + 9(1-8)|$
   Área($\triangle ABC$) = $\frac{1}{2} |0(2) + 4(5) + 9(-7)|$
   Área($\triangle ABC$) = $\frac{1}{2} |0 + 20 - 63| = \frac{1}{2} |-43| = 21,5$.
   A área total do quadrilátero é a soma das áreas dos dois triângulos: $22,5 + 21,5 = 44$.