Questão de Raciocínio Lógico · FGV TRF1 2024 (nº 24)

A análise combinatória estuda as diferentes maneiras de organizar ou selecionar elementos. Neste problema, precisamos arranjar pessoas em poltronas com restrições específicas, usando o conceito de permutação (a ordem importa) e tratando grupos como unidades.

• (A) Incorreta: Esta alternativa pode surgir de um cálculo incompleto ou de erros na aplicação das restrições. Por exemplo, se o aluno calculasse $P(5,3) \times 2 = 60 \times 2 = 120$ (arranjando 3 crianças em 5 posições e o casal em 2, sem considerar a posição do casal como bloco e o assento vazio).
• (B) Incorreta: O valor 120 pode ser obtido de várias formas incorretas, como $5!$(permutação de 5 itens sem considerar o casal como bloco ou o assento vazio corretamente), ou$P(5,4)$ (arranjando 4 "unidades" em 5 posições, mas esquecendo a permutação interna do casal).
• (C) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. O valor 180 é obtido se o aluno cometer dois erros:
  1. Assumir que, após escolher o assento vazio (6 opções), as 5 poltronas restantes para as pessoas são sempre contíguas. Isso não é verdade (se o assento vazio for o segundo, as poltronas para as pessoas seriam 1, 3, 4, 5, 6, que não são contíguas).
  2. Esquecer a permutação interna do casal ($2!$). Se o aluno calcula: (6 escolhas para o assento vazio)$\times$(5 posições para o bloco do casal, assumindo 5 poltronas contíguas)$\times$(3! para as 3 crianças restantes) =$6 \times 5 \times 6 = 180$. A banca tenta pegar o aluno que não percebe que o assento vazio "quebra" a sequência de poltronas.
• (D) Correta: Para resolver, siga estes passos:
  1. Trate o casal como um bloco: O casal (Pai e Mãe) deve sentar junto. Eles podem sentar como PM ou MP. Isso dá $2! = 2$ maneiras de se arranjarem internamente.
  2. Posicione o bloco do casal: Há 6 poltronas. O bloco do casal ocupa 2 poltronas adjacentes. As posições possíveis para este bloco são: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6). São 5 posições diferentes para o bloco do casal.
  3. Total de maneiras de posicionar o casal: Multiplique as posições do bloco pelas permutações internas: $5 \text{ (posições)} \times 2 \text{ (permutação interna)} = 10$ maneiras.
  4. Considere os elementos restantes: Após o casal ocupar 2 poltronas, sobram $6 - 2 = 4$ poltronas. Os elementos a serem colocados nessas 4 poltronas são os 3 filhos (F1, F2, F3) e a 1 poltrona vazia (V).
  5. Arranje os elementos restantes: Temos 4 elementos distintos (F1, F2, F3, V) para serem arranjados nas 4 poltronas restantes. O número de maneiras de arranjar 4 elementos distintos em 4 posições distintas é $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ maneiras.
  6. Calcule o total de maneiras: Multiplique as maneiras de posicionar o casal pelas maneiras de arranjar os elementos restantes: $10 \times 24 = 240$.
• (E) Incorreta: O valor 360 pode ser obtido se o aluno cometer o erro de assumir as poltronas contíguas (como no distrator 180), mas aplicar corretamente a permutação interna do casal: $6 \text{ (assento vazio)} \times 5 \text{ (posições para o casal em 5 contíguas)} \times 2! \text{ (casal)} \times 3! \text{ (crianças)} = 6 \times 5 \times 2 \times 6 = 360$.