Questão de Matemática · FGV TJTO 2022 (nº 37)

As relações métricas em um triângulo retângulo são um conjunto de fórmulas que conectam as medidas dos lados (catetos e hipotenusa), da altura relativa à hipotenusa e das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Elas são úteis para encontrar comprimentos desconhecidos em figuras que contêm triângulos retângulos, como retângulos e quadrados.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do comprimento de PQ.
(B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do comprimento de PQ.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do comprimento de PQ.
(D) Correta: Para encontrar o comprimento de PQ, primeiro calculamos a diagonal BD do retângulo usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, resultando em $BD = 10$. Em seguida, aplicamos as relações métricas no triângulo ABD para determinar a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BD. Chamamos essa projeção de BP. A fórmula é $cateto^2 = projeção \times hipotenusa$, então $AB^2 = BP \times BD \implies 6^2 = BP \times 10 \implies 36 = 10 \times BP \implies BP = 3,6$. Como ABCD é um retângulo, os triângulos ABD e CDB são congruentes, o que significa que a projeção do cateto CD (que tem o mesmo comprimento de AB) sobre a hipotenusa BD, que chamamos de DQ, é igual a BP. Assim, $DQ = 3,6$. O segmento PQ é a parte da diagonal BD que resta após subtrairmos as duas projeções BP e DQ: $PQ = BD - BP - DQ = 10 - 3,6 - 3,6 = 10 - 7,2 = 2,8$. A armadilha aqui seria calcular apenas uma das projeções ou confundir PQ com a altura AP ou CQ, que seria $4,8$.
(E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do comprimento de PQ.