Questão de Matemática · FGV TJTO 2022 (nº 34)

Para contar arranjos de itens com repetição, usamos a fórmula de permutação com repetição. Quando queremos que algo não aconteça, uma estratégia comum é calcular o total de arranjos possíveis e subtrair aqueles em que a condição indesejada acontece.

• (A) Incorreta: Este valor (24) seria o total de arranjos se todas as 4 letras fossem distintas (como T1, J, T2, O), ignorando que os dois 'T's são idênticos. A armadilha aqui é calcular $4!$ (24) como se todas as letras fossem diferentes, o que superestima o número de arranjos únicos.
• (B) Incorreta: Este valor (12) representa o número total de arranjos distintos das letras TJTO, sem nenhuma restrição. É o primeiro passo da resolução, mas não a resposta final para a condição "T's não fiquem juntas".
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum cálculo direto ou erro comum para este tipo de problema.
• (D) Correta: Primeiro, calculamos o número total de arranjos distintos das letras T, J, T, O. Como temos 4 letras no total e a letra 'T' se repete 2 vezes, o total de arranjos é $4! / 2! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) / (2 \times 1) = 24 / 2 = 12$. Em seguida, calculamos o número de arranjos em que as 2 letras 'T' ficam juntas. Para isso, tratamos "TT" como um único bloco. Assim, estamos arranjando 3 "itens": (TT), J, O. O número de arranjos desses 3 itens é $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Finalmente, para encontrar o número de arranjos em que as 2 letras 'T' não ficam juntas, subtraímos os arranjos onde elas ficam juntas do total de arranjos: $12 - 6 = 6$.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum cálculo direto ou erro comum para este tipo de problema.