Questão de Raciocínio Lógico · FGV TJ-AP 2024 (nº 30)

Para resolver problemas de permutação com restrição onde "nenhum item pode ficar junto", a estratégia mais eficaz é primeiro arranjar os itens que não possuem a restrição, e depois usar os espaços criados entre eles para posicionar os itens restritos.

A palavra MACAPA tem 6 letras: M, A, C, A, P, A.
As letras são: M (1), C (1), P (1), A (3).
A restrição é que as três letras 'A' não podem aparecer juntas (ou seja, não pode haver "AA" ou "AAA").

1. Arranje as letras que não são 'A': As letras M, C, P são distintas. O número de maneiras de arranjá-las é $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
   Exemplo de um arranjo: M C P.

2. Crie "espaços" (slots) para as letras 'A': Ao arranjar as letras M, C, P, criamos 4 espaços onde as letras 'A' podem ser colocadas para garantir que nenhuma 'A' fique ao lado de outra:
   _ M _ C _ P _
   (Os underscores representam os espaços disponíveis).

3. Posicione as letras 'A' nos espaços: Temos 3 letras 'A' idênticas para colocar em 4 espaços. Para que nenhuma 'A' fique junto, cada 'A' deve ocupar um espaço diferente. Como as 'A's são idênticas, a ordem em que as escolhemos não importa, apenas quais espaços são escolhidos. Isso é uma combinação: escolher 3 espaços entre os 4 disponíveis.
   Número de maneiras de escolher os espaços = $C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$.

4. Multiplique os resultados: O número total de maneiras é o produto das maneiras de arranjar as letras não-'A' e as maneiras de posicionar as letras 'A'.
   Total = (Maneiras de arranjar M, C, P) $\times$ (Maneiras de posicionar A's)
   Total = $6 \times 4 = 24$.

• (A) Incorreta: 6. Este valor corresponde apenas ao número de maneiras de arranjar as letras M, C, P ($3!$). O aluno que escolhe esta alternativa provavelmente esqueceu de considerar o posicionamento das letras 'A' ou assumiu que havia apenas uma forma de posicioná-las.
• (B) Incorreta: 12. Este valor pode surgir de diversas confusões, como $P(4,2)$ (permutação de 2 itens em 4 posições) ou $3! \times 2$. Não há um caminho direto e comum para este erro neste tipo de problema.
• (C) Incorreta: 16. Este valor ($4 \times 4$) não se encaixa nas operações combinatórias típicas para este problema.
• (D) Correta: 24. Conforme a explicação acima, este é o resultado da multiplicação das permutações das letras não-A ($3! = 6$) pelas combinações de escolha de espaços para as letras A ($C(4,3) = 4$).
• (E) Incorreta: 48. Esta é uma armadilha comum. Um aluno pode ter chegado ao resultado correto de 24 e, por algum motivo, multiplicado por 2. Uma forma de chegar a 48 seria se o aluno calculasse o número de permutações das 6 letras como se fossem todas distintas ($6! = 720$), depois tentasse subtrair os casos proibidos, ou se, ao usar o método dos espaços, ele calculasse$3! \times P(4,3)$(tratando os A's como distintos) resultando em$6 \times 24 = 144, e então, ao tentar corrigir para A's idênticos, dividisse por um valor incorreto, como \3!/2 = 3, em vez de \3! = 6. Assim, \144 / 3 = 48$. A armadilha aqui é a aplicação incorreta da correção para itens idênticos.