Questão de Raciocínio Lógico · FGV TJ-AP 2024 (nº 29)

O conceito-chave aqui é entender as medidas de tendência central: a média é o valor médio de um conjunto de dados (soma de todos os valores dividida pelo número de valores); a mediana é o valor central quando os dados são ordenados (se houver um número ímpar de dados, é o valor do meio; se for par, é a média dos dois valores do meio); e a moda é o valor que aparece com maior frequência. Para que a moda seja única, apenas um valor pode ter a maior frequência.

Vamos analisar a amostra e as condições:
Amostra: 2, 5, 9, X, Y, 2, 6.
Condições:

1. X e Y são números inteiros.
2. $4 < X < Y$.
3. A amostra tem moda única.
4. Média = Mediana.

Primeiro, vamos ordenar os números conhecidos: 2, 2, 5, 6, 9.
A amostra completa tem 7 números. A mediana será o 4º número na lista ordenada.

Análise da Moda Única:
Os números 2, 2 já estão na amostra, ou seja, o 2 aparece duas vezes.
Como $4 < X < Y$, X e Y não podem ser 2. Assim, o número 2 aparecerá exatamente duas vezes na amostra final.
Para que a moda seja única, nenhum outro número pode aparecer duas ou mais vezes.
Isso significa que X e Y não podem ser iguais a 5, 6 ou 9 (que já aparecem uma vez). Se X fosse 5, por exemplo, o 5 apareceria duas vezes, e o 2 também apareceria duas vezes, resultando em duas modas (2 e 5), o que violaria a condição de moda única.
Além disso, X e Y devem ser distintos (já garantido por $X < Y$).
Portanto, as condições para X e Y são:

• X e Y são inteiros.
• $4 < X < Y$.
• $X \notin \{5, 6, 9\}$.
• $Y \notin \{5, 6, 9\}$.

Determinação da Mediana:
A amostra ordenada terá a forma $N_1, N_2, N_3, N_4, N_5, N_6, N_7$. A mediana é $N_4$.
Como $X, Y > 4$, os dois primeiros números da lista ordenada são $N_1=2$ e $N_2=2$.
Os números restantes para $N_3, N_4, N_5, N_6, N_7$ são {5, 6, 9, X, Y}.

Vamos analisar as possibilidades para a mediana ($N_4$):

1. Mediana = 5?
   Para que 5 seja a mediana ($N_4$), os três números anteriores a ele devem ser menores ou iguais a 5.
   Já temos 2, 2. O terceiro número ($N_3$) teria que ser X.
   Isso implicaria $X \le 5$. Como $4 < X$, então $X=5$.
   Mas a condição de moda única exige $X \notin \{5, 6, 9\}$. Portanto, $X=5$ não é permitido.
   Assim, a mediana não pode ser 5.

2. Mediana = 6?
   Para que 6 seja a mediana ($N_4$), os três números anteriores a ele devem ser menores ou iguais a 6.
   Já temos 2, 2, 5. Esses são 3 números. Se 6 for o 4º número, então $N_3=5$.
   Isso implica que X deve ser maior que 6 ($X > 6$).
   A lista ordenada seria: 2, 2, 5, 6, ..., ..., ...
   Os números restantes para $N_5, N_6, N_7$ seriam {9, X, Y}.
   Como $X > 6$ e $Y > X$, esta ordem é consistente.
   A lista ordenada seria: (2, 2, 5, 6, X, 9, Y) se $6 < X < 9$, ou (2, 2, 5, 6, 9, X, Y) se$X > 9$.
   Em ambos os casos, a mediana é 6.

   Agora, aplicamos a condição Média = Mediana:
   A soma de todos os números é $2+2+5+6+9+X+Y = 24+X+Y$.
   A média é $(24+X+Y)/7$.
   Então, $(24+X+Y)/7 = 6$.
   $24+X+Y = 42$.$X+Y = 18$.

   Vamos encontrar os pares (X, Y) que satisfazem $X+Y=18$ e as condições:
   a) $4 < X < Y$
   b) $X, Y \notin \{5, 6, 9\}$

   • Se $X=5$, $Y=13$. (Mas $X=5$ não é permitido pela moda única).
   • Se $X=6$, $Y=12$. (Mas $X=6$ não é permitido pela moda única).
   • Se $X=7$, $Y=11$.
     • $4 < 7 < 11$ (válido).
     • $7 \notin \{5, 6, 9\}$ (válido).
     • $11 \notin \{5, 6, 9\}$ (válido).
       Este par é válido. Portanto, $X=7$ é um possível valor.
   • Se $X=8$, $Y=10$.
     • $4 < 8 < 10$ (válido).
     • $8 \notin \{5, 6, 9\}$ (válido).
     • $10 \notin \{5, 6, 9\}$ (válido).
       Este par é válido. Portanto, $X=8$ é um possível valor.
   • Se $X=9$, $Y=9$. (Mas $X < Y$ não é satisfeito, e $X=9$ não é permitido pela moda única).
   • Se $X > 9$, por exemplo $X=10$, então $Y=8$. Isso viola $X < Y$. Não há mais soluções.

   Portanto, os únicos valores possíveis para X são 7 e 8.

3. Mediana = X?
   Para que X seja a mediana ($N_4$), a lista ordenada seria 2, 2, 5, X, 6, 9, Y.
   Isso implicaria $5 < X < 6$. Não há número inteiro X que satisfaça esta condição.
   Assim, a mediana não pode ser X.

4. Mediana = 9?
   Para que 9 seja a mediana ($N_4$), os três números anteriores a ele devem ser menores ou iguais a 9.
   Já temos 2, 2, 5, 6. Esses são 4 números. Isso significa que 9 seria no mínimo $N_5$.
   Portanto, a mediana não pode ser 9.

Os únicos valores possíveis para X são 7 e 8.
A soma dos possíveis valores de X é $7 + 8 = 15$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria possível se, por exemplo, X=5 fosse permitido e X=8 fosse o outro valor (5+8=13), ou X=6 e X=7 (6+7=13). No entanto, X=5 e X=6 são descartados pela condição de moda única.
• (B) Incorreta: Esta alternativa seria possível se, por exemplo, X=6 fosse permitido e X=8 fosse o outro valor (6+8=14). No entanto, X=6 é descartado pela condição de moda única.
• (C) Correta: Os valores de X que satisfazem todas as condições são 7 e 8. A soma $7+8=15$.
• (D) Incorreta: Esta alternativa poderia ser tentadora se o valor X=9 fosse incorretamente considerado (7+9=16). No entanto, X=9 é descartado pela condição de moda única e, se Y também fosse 9, violaria a condição $X < Y$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa poderia ser tentadora se o valor X=9 fosse incorretamente considerado (8+9=17). No entanto, X=9 é descartado pela condição de moda única e, se Y também fosse 9, violaria a condição $X < Y$.