Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV TCE-TO 2022 (nº 27)

Para resolver este tipo de questão, primeiro identificamos o ângulo $x$ a partir do seu cosseno conhecido, e depois calculamos o cosseno do ângulo múltiplo $20x$ simplificando o resultado.

(A) Incorreta: O valor 1 seria obtido se $20x$ fosse um múltiplo par de $\pi$ (ex: $0, 2\pi, 4\pi$), mas o cálculo de $20x$ não resulta em um ângulo com cosseno 1.
(B) Correta: Se $\cos x = \dfrac{1}{2}$, um dos valores possíveis para $x$ é $\dfrac{\pi}{3}$ (ou $60^\circ$).
Então, $20x = 20 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{20\pi}{3}$.
Para calcular $\cos\left(\dfrac{20\pi}{3}\right)$, simplificamos o ângulo:
$\dfrac{20\pi}{3} = \dfrac{18\pi + 2\pi}{3} = \dfrac{18\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = 6\pi + \dfrac{2\pi}{3}$.
Como a função cosseno tem período $2\pi$, $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta)$, onde $k$ é um número inteiro.
Assim, $\cos\left(6\pi + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.
O ângulo $\dfrac{2\pi}{3}$ (ou $120^\circ$) está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo. Seu ângulo de referência é $\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$.
Portanto, $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$.
(C) Incorreta: O valor 0 seria obtido se $20x$ fosse um múltiplo ímpar de $\dfrac{\pi}{2}$ (ex: $\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$), o que não é o caso.
(D) Incorreta: O valor -1 seria obtido se $20x$ fosse um múltiplo ímpar de $\pi$ (ex: $\pi, 3\pi$), o que não ocorre aqui.
(E) Incorreta: O valor do cosseno de qualquer ângulo sempre estará entre -1 e 1. A alternativa 10 é um distrator para quem tenta fazer alguma operação aritmética simples com $20$e$\dfrac{1}{2}$ sem considerar a função trigonométrica.