Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 24)

O volume de um sólido geométrico é a medida do espaço que ele ocupa. Para um cilindro, o volume é a área da base (um círculo) multiplicada pela altura. Para um cone, o volume é um terço da área da base (também um círculo) multiplicada pela altura.

Cálculo:

1. Fórmulas dos volumes:
   • Volume do Cilindro ($V_c$): $V_c = \pi \cdot r_c^2 \cdot h_c$
   • Volume do Cone ($V_k$): V_k = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_k^2 \cdot h_k\
2. Dados do problema:
   • $V_c = V_k$ (volumes iguais)
   • $h_c = 60$ cm (altura do cilindro)
   • $r_k = 2 \cdot r_c$ (raio do cone é o dobro do raio do cilindro)
3. Igualando os volumes e substituindo os dados:
   $\pi \cdot r_c^2 \cdot h_c = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_k^2 \cdot h_k$
   \pi \cdot r_c^2 \cdot 60 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (2 \cdot r_c)^2 \cdot h_k\
4. Simplificando a equação:
   $\pi \cdot r_c^2 \cdot 60 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4 \cdot r_c^2) \cdot h_k$
   Cancelando $\pi$ e $r_c^2$ de ambos os lados:
   $60 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot h_k$
   60 = \frac{4}{3} \cdot h_k\
5. Resolvendo para $h_k$ (altura do cone):
   $h_k = 60 \cdot \frac{3}{4}$
   $h_k = \frac{180}{4}$
   $h_k = 45$ cm

• (A) Incorreta: Esta resposta seria obtida se o fator $1/3$do volume do cone fosse ignorado, resultando em$h_k = 15$ cm.
• (B) Incorreta: Não há uma relação direta que leve a 30 cm com os dados fornecidos e as fórmulas corretas.
• (C) Correta: A altura do cone é 45 cm, conforme calculado ao igualar os volumes do cilindro e do cone, considerando a relação entre seus raios e o fator $1/3$ do volume do cone.
• (D) Incorreta: Esta é a altura do cilindro. A armadilha aqui é supor que, se os volumes são iguais e o raio do cone é maior, a altura do cone poderia ser a mesma do cilindro, o que é um erro comum de raciocínio intuitivo sem aplicar as fórmulas corretamente.
• (E) Incorreta: Não há uma relação direta que leve a 75 cm com os dados fornecidos e as fórmulas corretas.