Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 25)

A moda de uma lista de números é o valor que aparece com maior frequência. Se a moda é única, significa que apenas um valor tem a maior frequência, e nenhum outro valor aparece com a mesma ou maior frequência.

(A) Incorreta: Se houvesse 90 números diferentes, além da moda, teríamos $90 \times 22 = 1980$ números. Somando a moda (23 vezes), teríamos $1980 + 23 = 2003$ números no total, o que é menos que os 2023 dados. Para chegar a 2023, precisaríamos de mais números, ou seja, mais tipos de números diferentes.

(B) Incorreta: Este valor corresponde ao número mínimo de inteiros diferentes além da moda. O cálculo é $2000 \div 22 \approx 90.90$, que arredondado para cima é 91. Isso significa que precisamos de 91 números diferentes para acomodar os 2000 números restantes, cada um aparecendo no máximo 22 vezes. A pegadinha aqui é esquecer de incluir a própria moda na contagem final de números diferentes.

(C) Correta: A lista tem 2023 números. A moda é única e ocorre 23 vezes. Isso significa que nenhum outro número pode aparecer 23 ou mais vezes. Para minimizar a quantidade de números inteiros diferentes, devemos maximizar a frequência de cada um dos outros números. A frequência máxima permitida para qualquer outro número é 22 (um a menos que a moda).
Primeiro, separamos a moda: $2023 - 23 = 2000$números restantes. Esses 2000 números devem ser distribuídos entre outros inteiros, cada um aparecendo no máximo 22 vezes. Para encontrar o número mínimo de inteiros diferentes necessários para esses 2000 números, dividimos 2000 por 22:$2000 \div 22 \approx 90.909$. Como precisamos de um número inteiro de tipos diferentes, arredondamos para cima: 91. Isso significa que precisamos de 91 números inteiros diferentes *além da moda*. Por exemplo, 90 desses números podem aparecer 22 vezes cada ($90 \times 22 = 1980), e o 91º número apareceria \2000 - 1980 = 20 vezes. Todas essas frequências (22 e 20) são menores que 23, garantindo que a moda seja única. A quantidade total de números inteiros diferentes na lista é a soma desses 91 números mais a própria moda: \91 + 1 = 92$.

(D) Incorreta: Este valor é maior do que o mínimo necessário. O cálculo correto leva a 92.

(E) Incorreta: Este valor é maior do que o mínimo necessário. O cálculo correto leva a 92.