Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 20)

O conceito-chave aqui é contagem e soma de números com restrições. Primeiro, identificamos quais algarismos são permitidos e, em seguida, construímos os números de dois algarismos com essas restrições para depois somá-los de forma sistemática.

Para um número de dois algarismos $XY$:

• O algarismo da dezena ($X$) não pode ser 0, 8 ou 9. Portanto, $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. (7 opções)
• O algarismo da unidade ($Y$) não pode ser 8 ou 9. Portanto, $Y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. (8 opções)

O número total de tais números é $7 \times 8 = 56$.

Para somar esses números, podemos usar o método de soma por posição:

1. Soma dos valores das dezenas: Cada algarismo da dezena ($1, 2, ..., 7undefined1+2+3+4+5+6+7 = 28$. O valor total contribuído pelas dezenas é$10 \times (1+2+...+7) \times 8 = 10 \times 28 \times 8 = 2240$.

2. Soma dos valores das unidades: Cada algarismo da unidade ($0, 1, ..., 7undefined0+1+2+3+4+5+6+7 = 28$. O valor total contribuído pelas unidades é$(0+1+...+7) \times 7 = 28 \times 7 = 196$.

A soma total de todos esses números é a soma dos valores das dezenas e das unidades:
$2240 + 196 = 2436$.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos números.
(B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos números.
(C) Correta: A soma de todos os números inteiros positivos de dois algarismos que não possuem 8 e nem 9 é 2436, obtida pela soma sistemática dos valores das posições dos algarismos permitidos.
(D) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator para quem comete um erro comum ao contar o número de vezes que cada algarismo aparece. Por exemplo, se o estudante somasse os algarismos das unidades 8 vezes (como se o algarismo da dezena pudesse ser 0, o que não é permitido para números de dois algarismos) em vez de 7 vezes, a soma seria $2240 + (28 \times 8) = 2240 + 224 = 2464$, que ainda não é 2560. Outro erro seria se o aluno calculasse a soma de todos os números de 0 a 77 (sem 8s e 9s), que é 2464, e depois não subtraísse os números de um algarismo (0 a 7), ou fizesse alguma outra alteração.
(E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos números.