Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 18)

Para contar o número total de maneiras de realizar uma sequência de escolhas independentes, multiplicamos o número de opções para cada escolha. Quando a ordem de seleção de itens não importa, usamos combinações ($C(n, k)$).

(A) Incorreta: Esta alternativa (10) seria a resposta se a estrada inicial fosse predeterminada (por exemplo, "começando sempre pela estrada 1") ou se o problema fosse interpretado como apenas a escolha dos pontos de mudança, ignorando a escolha da estrada de partida. Esta é a armadilha da banca, pois é o resultado direto da combinação $C(5,3)$, que é uma parte do cálculo, mas não o resultado final.
(B) Incorreta: Não há um raciocínio combinatório direto que leve a 15 nesta situação.
(C) Correta: Para resolver, primeiro escolhemos os 3 pontos de entrecruzamento onde as mudanças de estrada ocorrerão. Como a ordem em que visitamos os pontos é crescente (avançando sempre), a ordem de escolha dos pontos não importa, apenas quais 3 pontos são escolhidos. Isso é uma combinação de 5 pontos tomados 3 a 3: $C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ maneiras de escolher os pontos. Para cada conjunto de 3 pontos escolhidos, há duas maneiras distintas de percorrer o caminho: você pode começar na Estrada 1 (trocando para Estrada 2, depois para Estrada 1, e finalmente para Estrada 2 para chegar a B) ou começar na Estrada 2 (trocando para Estrada 1, depois para Estrada 2, e finalmente para Estrada 1 para chegar a B). Como há 2 opções para a estrada de partida, o número total de modos é $10 \times 2 = 20$.
(D) Incorreta: Não há um raciocínio combinatório direto que leve a 25 nesta situação.
(E) Incorreta: Não há um raciocínio combinatório direto que leve a 30 nesta situação.